Uma bola é atirada ao chão de uma altura de 200 M . Ao atingir o solo pela primeira vez , ela sobe até uma altura de 100 M , cai e atinge o solo pela segunda vez , subindo até uma altura de 50 M , e assim por diante até perder energia e cessar o movimento . Quantas metros a bola percorre ao todo ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma bola que é lançada de uma altura de 200 metros. Ao bater no chão, ela sobe até 100 metros, depois volta a cair e sobe 50 metros, e assim por diante, reduzindo a altura pela metade a cada vez até parar. O conteúdo que vamos usar aqui é progressão geométrica, que nos ajuda a somar as distâncias percorridas em movimentos repetitivos com redução constante. Precisamos calcular a distância total que a bola percorre durante todo esse processo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as distâncias que a bola percorre. Quando a bola é lançada, ela desce 200 metros até o chão.

Passo 3

Após bater no chão, a bola sobe até 100 metros. Então, ela desce novamente esses mesmos 100 metros de volta ao chão. Até agora, a bola percorreu: 200 + 100 + 100 = 400 metros.

Passo 4

Na próxima vez, a bola sobe apenas 50 metros e depois desce mais 50 metros. Portanto, adicionamos mais 100 metros à distância total: 400 + 50 + 50 = 500 metros.

Passo 5

Continuando esse padrão, a cada vez a altura da subida e descida é metade da anterior (25 metros, 12,5 metros, etc.). Isso forma uma progressão geométrica onde cada termo é metade do anterior. A soma infinita desta progressão pode ser calculada usando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica:
S = a11 - r
onde $ a_1 $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão.
No nosso caso, a primeira altura após os 200 metros iniciais é 100 metros, e a razão $ r $ é 0,5 (já que cada altura é metade da anterior).
Calculando a soma infinita das subidas e descidas:
a1
Então, a distância total é a soma dos 200 metros iniciais mais os 200 metros das subidas e descidas posteriores:
r

Resposta

A bola percorre 600 metros ao todo.

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