As pesquisas para a eleição presidencial de 2004 do crítico estado de Ohio forneceram os seguintes resultados. Havia 2.020 pessoas consultadas nas pesquisas e 768 eram graduadas em faculdades. Das pessoas graduadas em faculdades, 412 votaram em George Bush. Calcule um intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas graduadas em Ohio que votaram em George Bush.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma pesquisa feita em Ohio sobre a eleição presidencial de 2004. Foram entrevistadas 2.020 pessoas, das quais 768 tinham diploma universitário. Dentre essas 768, 412 votaram no George Bush. O que precisamos fazer é calcular um intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas com diploma universitário em Ohio que votaram no Bush. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a proporção observada na amostra. A proporção é o número de pessoas que votaram no Bush dividido pelo total de pessoas com diploma universitário na amostra. Isso nos dá uma estimativa da proporção na população.

Passo 3

Calculando a proporção observada ($ \hat{p} $):
p
Então, aproximadamente 53,65% das pessoas com diploma universitário na amostra votaram no Bush.

Passo 4

Agora, para calcular o intervalo de confiança, vamos usar a fórmula do intervalo para proporção:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a proporção observada,
  • $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado,
  • $ n $ é o tamanho da amostra.

Passo 5

Como queremos um intervalo de confiança de 95%, o valor de $ Z $ correspondente é aproximadamente 1,96.

Passo 6

Vamos calcular o erro padrão ($ E $):
E
E = Z times raizp(1 - p)n = 1,96 times raiz0,5365 times (1 - 0,5365)768

Passo 7

Agora, construímos o intervalo de confiança:
0,5365 pm 0,0353
Isso significa que:
0,5365 - 0,0353 = 0,5012
0,5365 + 0,0353 = 0,5718

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a proporção de pessoas graduadas em Ohio que votaram em George Bush é aproximadamente entre 50,12% e 57,18%.

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