Um capacitor é um componente com dois terminais mantidos sob uma DDP, e que consegue armazenar energia entre as placas, na forma de uma carga elétrica. Considere que uma das placas de um capacitor elétrico carrega-se de acordo com a seguinte expressão: d , em unidades do SI. Calcule o instante de tempo onde a corrente elétrica é 0,4mA.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um capacitor, que é um componente eletrônico com duas placas que armazenam carga elétrica quando submetido a uma diferença de potencial (DDP). A carga em uma das placas do capacitor varia ao longo do tempo de acordo com uma certa expressão matemática que foi mencionada na questão. Nosso objetivo aqui é calcular o instante de tempo em que a corrente elétrica no circuito é de 0,4 mA.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender um pouco sobre como a carga e a corrente se relacionam em um capacitor. Vamos usar conceitos de capacitância e derivadas, já que a corrente é a taxa de variação da carga em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a corrente elétrica $ I(t) $ em um capacitor é a derivada da carga $ Q(t) $ em relação ao tempo. Ou seja:
Isso significa que, se conhecemos como a carga varia com o tempo, podemos encontrar a corrente derivando essa expressão.
Passo 3
Vamos supor que a carga no capacitor está se acumulando de acordo com uma função exponencial típica de um circuito RC (resistor-capacitor):
Aqui:
- $ Q_0 $ é a carga máxima que o capacitor pode armazenar.
- $ \tau = R \times C $ é a constante de tempo do circuito, onde $ R $ é a resistência e $ C $ é a capacitância.
Passo 4
Agora, vamos derivar $ Q(t) $ para encontrar a expressão da corrente:
Simplificando:
Passo 5
Queremos encontrar o tempo $ t $ em que a corrente $ I(t) $ é igual a 0,4 mA. Vamos igualar a expressão da corrente a 0,4 mA e resolver para $ t $:
Primeiro, isolamos o termo exponencial:
Passo 6
Agora, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados para resolver para $ t $:
Multiplicando ambos os lados por $ -\tau $:
Resposta
O instante de tempo onde a corrente elétrica é 0,4 mA é dado por:
Para obter um valor numérico, você precisará conhecer os valores de $ Q_0 $ (a carga máxima) e $ \tau $ (constante de tempo do circuito). Substituindo esses valores na equação acima, você poderá calcular o instante de tempo desejado.