Seja o plano ß que passa pelo ponto A = (2,2,1) e é paralelo aos vetores u = (2,-3,1) e v = (-1,5,2). Encontre a equação vetorial do plano B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que achar a equação vetorial de um plano que passa pelo ponto $ A = (2, 2, 1) $ e é paralelo aos vetores $ \vec{u} = (2, -3, 1) $ e $ \vec{v} = (-1, 5, 2) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, mais especificamente sobre planos e vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que o plano é paralelo aos vetores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $. Isso quer dizer que esses vetores estão dentro do plano, ou seja, eles são diretores do plano. Com esses dois vetores, vamos poder construir a equação vetorial do plano.

Passo 3

A equação vetorial de um plano pode ser escrita usando um ponto que está no plano e dois vetores que estão dentro do plano. No nosso caso, o ponto é $ A = (2, 2, 1) $ e os vetores são $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $. A forma geral da equação vetorial é:
A = (2, 2, 1)
Onde:
  • $ \vec{r} $ é um vetor genérico qualquer no plano.
  • $ \vec{A} $ é o vetor posição do ponto $ A $.
  • $ s $ e $ t $ são escalares que multiplicam os vetores diretores $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $, respectivamente.

Passo 4

Vamos montar a equação vetorial usando os dados que temos. Primeiro, representamos o ponto $ A $ como um vetor posição:
A
E os vetores diretores:
A = 2 2 1
Agora, substituímos esses valores na equação geral do plano:
u = 2 -3 1 , v = -1 5 2

Passo 5

Para deixar a equação mais clara, podemos reescrever os componentes separadamente:
r = 2 + 2s - t 2 - 3s + 5t 1 + s + 2t
Isso significa que qualquer ponto $ (x, y, z) $ no plano pode ser obtido ajustando os valores de $ s $ e $ t $.

Resposta

A equação vetorial do plano é:
r = 2 2 1 + s 2 -3 1 + t -1 5 2 , s, t in R

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