1- Uma bola de barbante possui um raio de aproximadamente 2 m . Qual o comprimento total L do barbante na bola aproximado para a ordem de grandeza mais próxima? (Considere o volume do barbante \mathrm{V}= (área da seção transversal) (comprimento) =\mathrm{d}^{2} \mathrm{~L}, e o volume da bola \mathrm{V}=4 \pi \mathrm{R}^{3} / 3 ).

Passo 1

O enunciado dá uma bola de barbante de raio aproximado \,R=2\text{ m} e diz para igualarmos o volume da esfera ao volume ocupado pelo barbante. O volume da esfera é dado por
V_{\text{esfera}}=\frac{4\pi R^3}{3},
e o volume do barbante é
V_{\text{barbante}}=A_{\text{sec}}\times L,
onde A_{\text{sec}}\approx d^2 é a área da seção transversal do fio (de diâmetro d) e L é o comprimento total que queremos.

Passo 2

Como nós igualamos os volumes, temos
d^2\,L \;=\;\frac{4\pi R^3}{3}
e, portanto,
L \;=\;\frac{4\pi\,R^3}{3\,d^2}.

Passo 3

Para estimar a ordem de grandeza, escolhemos um diâmetro típico de barbante, digamos d\approx1\text{ mm}=10^{-3}\text{ m}. Substituindo R=2\text{ m} temos
R^3=2^3=8\text{ m}^3,
então
L \;=\;\frac{4\pi\cdot8}{3\,(10^{-3})^2} =\frac{32\pi}{3}\times10^{6}\text{ m} \approx3{,}3\times10^{7}\text{ m}.

Passo 4

O valor numérico fica da ordem de
L\sim10^{7}\text{ m}.

Resposta

A ordem de grandeza do comprimento total é \displaystyle10^{7}\text{ m}.

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