Uma folha fina e uniforme de metal é cortada no formato de um semicírculo de raio
e está no plano
com seu centro na origem e seu diâmetro ao longo do eixo x. Encontre a posição do centro de massa usando coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado descreve uma lâmina fina e uniforme com densidade superficial constante, no formato de um semicírculo de raio
, apoiada no plano
com seu diâmetro ao longo do eixo
(semicírculo acima do eixo). Queremos encontrar o centro de massa
usando integrais duplas em coordenadas polares e uma observação de simetria.
Passo 2
Pela simetria do semicírculo em relação ao eixo
, o centro de massa satisfaz
Resta calcular
onde
é a área do semicírculo e
é a região.
Passo 3
A área do semicírculo é
Passo 4
Em coordenadas polares temos
com
e
. Logo, o numerador de
é
Passo 5
Substituindo em
: