Uma folha fina e uniforme de metal é cortada no formato de um semicírculo de raio R e está no plano x y com seu centro na origem e seu diâmetro ao longo do eixo x. Encontre a posição do centro de massa usando coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina fina e uniforme com densidade superficial constante, no formato de um semicírculo de raio R, apoiada no plano xy com seu diâmetro ao longo do eixo x (semicírculo acima do eixo). Queremos encontrar o centro de massa (\bar x,\bar y) usando integrais duplas em coordenadas polares e uma observação de simetria.

Passo 2

Pela simetria do semicírculo em relação ao eixo y, o centro de massa satisfaz
\bar x = 0.
Resta calcular
\bar y = \frac{1}{A}\iint_{D} y\,dA,
onde A é a área do semicírculo e D é a região.

Passo 3

A área do semicírculo é
A = \frac{1}{2}\,\pi R^{2}.

Passo 4

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com 0 \le r \le R e 0 \le \theta \le \pi. Logo, o numerador de \bar y é
\iint_{D} y\,dA = \int_{0}^{\pi}\!\!\int_{0}^{R} (r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\;\int_{0}^{R}r^{2}\,dr = \bigl[ -\cos\theta \bigr]_{0}^{\pi}\,\frac{R^{3}}{3} = 2\,\frac{R^{3}}{3} = \frac{2R^{3}}{3}.

Passo 5

Substituindo em \bar y:
\bar y = \frac{1}{A}\,\frac{2R^{3}}{3} = \frac{\displaystyle \frac{2R^{3}}{3}}{\displaystyle \frac{\pi R^{2}}{2}} = \frac{2R^{3}}{3}\;\frac{2}{\pi R^{2}} = \frac{4R}{3\pi}.

Resposta

(\bar x,\bar y) = \Bigl(0,\;\frac{4R}{3\pi}\Bigr).

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