Uma bola de beisebol deixa o bastão do batedor com uma velocidade inicial \mathrm{v}_{0}=37,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \mathrm{com} \mathrm{um} ângulo inicial \alpha_{0}=53,1^{\circ}. Adote \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) (2,25) Ache a posição da bola e o módulo, a direção e o sentido de sua velocidade para \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.
(b) (1,0) Calcule o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória e ache a altura h nesse instante.
(c) (\mathbf{0 , 7 5}) Ache o alcance horizontal R - ou seja, a distância entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento de projétil sob a ação da gravidade, com velocidade inicial \;v_{0}=37{,}0\\ \mathrm{m/s} e ângulo \alpha_{0}=53{,}1^\circ. Para resolver vamos usar:
  1. Decomposição de velocidade inicial em componentes horizontais e verticais.
  2. Equações do tipo \;x(t)=v_{0x}\,t,\quad y(t)=v_{0y}\,t - \tfrac12 g\,t^2
    e \;v_x=v_{0x},\quad v_y(t)=v_{0y}-g\,t.
  3. Fórmulas para tempo de subida e alcance horizontal.

Passo 2

Decompondo \;v_0 nas direções x (horizontal) e y (vertical):
v_{0x} = v_0\cos\alpha_0,\quad v_{0y} = v_0\sin\alpha_0.
Numericamente, como \cos53{,}1^\circ\approx0{,}6 e \sin53{,}1^\circ\approx0{,}8,
v_{0x} = 37{,}0\times0{,}6 = 22{,}2\\ \mathrm{m/s},\quad v_{0y} = 37{,}0\times0{,}8 = 29{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para t=2{,}0\\ \mathrm{s}:
Posição
x(2) = v_{0x}\,2 = 22{,}2\times2 = 44{,}4\\ \mathrm{m},
y(2) = v_{0y}\,2 - \tfrac12\,g\,2^2 =29{,}6\times2 - 4{,}9\times4 =59{,}2 - 19{,}6 = 39{,}6\\ \mathrm{m}.
Velocidade
v_x(2)=v_{0x}=22{,}2\\ \mathrm{m/s},\quad v_y(2)=v_{0y}-g\,2 =29{,}6-19{,}6 =10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Módulo e direção
v(2)=\sqrt{22{,}2^2 + 10{,}0^2}\approx24{,}3\\ \mathrm{m/s},
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{10{,}0}{22{,}2}\bigr)\approx23{,}9^\circ\quad\text{(acima da horizontal)}.

Passo 4

Tempo para atingir altura máxima:
t_h = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{29{,}6}{9{,}8}\approx3{,}02\\ \mathrm{s}.
Altura máxima
h = v_{0y}\,t_h - \tfrac12\,g\,t_h^2 =29{,}6\times3{,}02 - 4{,}9\times(3{,}02)^2 \approx44{,}7\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Alcance horizontal: o tempo total de voo é T=2\,t_h\approx6{,}04\\ \mathrm{s}, logo
R = v_{0x}\,T = 22{,}2\times6{,}04\approx134\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) Em t=2{,}0\\ \mathrm{s}: \;x=44{,}4\\ \mathrm{m},\\ y=39{,}6\\ \mathrm{m}; \;v=24{,}3\\ \mathrm{m/s} formando \;23{,}9^\circ acima da horizontal (sentido para cima e à direita).
(b) Tempo até o ponto mais alto \;t_h=3{,}02\\ \mathrm{s}, altura \;h=44{,}7\\ \mathrm{m}.
(c) Alcance horizontal \;R=134\\ \mathrm{m}.

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