Determine o momento em relação à origem O da força \mathbf{F}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}- 4 \mathbf{k} que atua em um ponto A. Suponha que o vetor de posição de A seja \mathbf{r}=4 \mathbf{i}+6 \mathbf{j}-8 \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado pede o momento (ou torque) em relação à origem O de uma força \mathbf{F}=2\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}-4\,\mathbf{k} aplicada num ponto A de vetor posição \mathbf{r}=4\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}-8\,\mathbf{k}. O conteúdo que vamos usar é a definição de momento em mecânica, que é dado pelo produto vetorial entre \mathbf{r} e \mathbf{F}.

Passo 2

A fórmula do momento em relação à origem é
\mathbf{M}_{O} \;=\;\mathbf{r}\times\mathbf{F}.
Substituindo os vetores:
\mathbf{r} = 4\,\mathbf{i}+6\,\mathbf{j}-8\,\mathbf{k}, \qquad \mathbf{F} = 2\,\mathbf{i}+3\,\mathbf{j}-4\,\mathbf{k}.

Passo 3

Para calcular o produto vetorial, montamos o determinante:
\mathbf{M}_{O} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 4 & 6 & -8 \\\\ 2 & 3 & -4 \end{vmatrix}.

Passo 4

Calculando cada componente:
M_x = \begin{vmatrix} 6 & -8 \\[6pt] 3 & -4 \end{vmatrix} =6\cdot(-4)-(-8)\cdot3=-24+24=0,
M_y = - \begin{vmatrix} 4 & -8 \\[6pt] 2 & -4 \end{vmatrix} =-\bigl(4\cdot(-4)-(-8)\cdot2\bigr) =-\bigl(-16+16\bigr)=0,
M_z = \begin{vmatrix} 4 & 6 \\[4pt] 2 & 3 \end{vmatrix} =4\cdot3-6\cdot2=12-12=0.
Portanto
\mathbf{M}_{O}=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}=\mathbf{0}.]

Resposta

\mathbf{M}_{O}=\mathbf{0}

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