Determine o momento em relação à origem O da força \mathbf{F}=2 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}- 4 \mathbf{k} que atua em um ponto A. Suponha que o vetor de posição de A seja \mathbf{r}=\mathbf{i}-4 \mathbf{j}-2 \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado pede o momento da força \mathbf{F} em relação à origem O. Em mecânica vetorial, o momento (ou torque) \mathbf{M}_O é definido como o produto vetorial entre o vetor de posição \mathbf{r} do ponto de aplicação e a força \mathbf{F}. Para resolver, vamos usar a definição de produto vetorial em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, escrevemos os vetores em componentes:
\mathbf{r} = (1,\,-4,\,-2), \quad \mathbf{F} = (2,\,3,\,-4).
O produto vetorial \mathbf{r}\times\mathbf{F} pode ser calculado pelo determinante
\mathbf{r}\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 1 & -4 & -2 \\[3pt] 2 & 3 & -4 \end{vmatrix}.]

Passo 3

Vamos avaliar o determinante:
\mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{i}\bigl((-4)(-4)-(-2)(3)\bigr) - \mathbf{j}\bigl(1\cdot(-4)-(-2)\cdot2\bigr) + \mathbf{k}\bigl(1\cdot3-(-4)\cdot2\bigr).
Calculando cada termo:
(-4)(-4)-(-2)(3) = 16 + 6 = 22,
1\cdot(-4)-(-2)\cdot2 = -4 -(-4) = 0,
1\cdot3-(-4)\cdot2 = 3 + 8 = 11.
Logo,
\mathbf{r}\times\mathbf{F} = 22\,\mathbf{i} - 0\,\mathbf{j} + 11\,\mathbf{k} = 22\,\mathbf{i} + 11\,\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{M}_O = 22\,\mathbf{i} + 11\,\mathbf{k}.

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