Um motorista dirige a uma velocidade constante de 54 \mathrm{~km} / \mathrm{h} quando passa em frente a uma escola, onde a placa de limite de velocidade indica 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Um policial que estava parado no local da placa acelera sua motocicleta e persegue o motorista com uma aceleração constante de 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) (2,5) Qual o intervalo desde o início da perseguição até o momento em que o policial alcança o motorista?
(b) (0,5) Qual é a velocidade do policial nesse instante?
(c) (0,5) Que distância cada veículo percorreu até esse momento?

Passo 1

O motorista passa em frente à escola a 54\text{ km/h}, o que em unidades do SI é
v_d = \frac{54\times1000}{3600} = 15\text{ m/s}.
Ele segue em movimento retilíneo uniforme (MRU). O policial, a partir do mesmo ponto, parte do repouso com aceleração constante de a=3{,}0\text{ m/s}^2, em movimento retilíneo uniformemente variado (MUV). Precisamos (a) achar o tempo t em que ele alcança o motorista, (b) sua velocidade v_p nesse instante e (c) a distância percorrida por cada um até lá.

Passo 2

Escrevemos as equações horárias de espaço, tomando a posição inicial como zero para ambos em t=0:
— Para o motorista (MRU):
x_d(t)=v_d\,t=15\,t.
— Para o policial (MUV, v_{p0}=0):
x_p(t)=\tfrac12\,a\,t^2=\tfrac12\cdot3{,}0\,t^2=1{,}5\,t^2.
O alcance ocorre quando x_p(t)=x_d(t).

Passo 3

Igualando as posições:
1{,}5\,t^2 = 15\,t
t\bigl(1{,}5\,t - 15\bigr)=0
Descartamos t=0 (início) e ficamos com
1{,}5\,t - 15 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{15}{1{,}5} = 10\text{ s}.

Passo 4

A velocidade do policial em MUV é
v_p(t)=a\,t = 3{,}0\cdot10 = 30\text{ m/s}.

Passo 5

A distância percorrida por cada um é, por exemplo, usando o MRU do motorista:
x_d(10)=15\cdot10 = 150\text{ m}.
E pelo MUV do policial:
x_p(10)=1{,}5\cdot10^2 = 150\text{ m}.

Resposta

(a) 10\text{ s}
(b) 30\text{ m/s}
(c) 150\text{ m} para cada veículo.

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