Uma bola de beisebol deixa o bastão do batedor com uma velocidade inicial de \mathrm{v}_{\mathrm{a}}= 37,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com um ângulo inicial \alpha_{0}=53,1^{\circ}.
a) Ache a posição da bola e o módulo, a direção e o sentido de sua velocidade para \mathrm{t}=2,0 \mathrm{~s}.
b) Calcule o tempo que a bola leva para atingir a altura máxima de sua trajetória e ache a altura h desse ponto.
c) Ache o alcance horizontal R. ou seja, a distância entre o ponto inicial e o ponto onde a bola atinge o solo e a velocidade da bola imediatamente antes de alcançar o solo.

Passo 1

O problema trata de lançamento oblíquo de um projétil (bola de beisebol) com velocidade inicial \mathrm{v}_{a}=37{,}0\\ \mathrm{m/s} e ângulo \alpha_{0}=53{,}1^\circ. Vamos decompor essa velocidade em componentes horizontal e vertical, usar as equações do movimento uniformemente acelerado (aceleração vertical -g, com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2})
x(t)=V_{0x}\,t,\quad y(t)=V_{0y}\,t-\tfrac12\,g\,t^2,
V_x(t)=V_{0x},\quad V_y(t)=V_{0y}-g\,t,
para encontrar posição e velocidade em um instante, tempo e altura máximos, alcance e velocidade ao atingir o solo.

Passo 2

Decompondo a velocidade inicial:
V_{0x}=V_a\cos\alpha_{0}=37{,}0\cdot\cos(53{,}1^\circ)=37{,}0\cdot0{,}6=22{,}2\\ \mathrm{m/s},
V_{0y}=V_a\sin\alpha_{0}=37{,}0\cdot\sin(53{,}1^\circ)=37{,}0\cdot0{,}8=29{,}6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

(a) Em t=2{,}0\\ \mathrm{s}, as coordenadas são
x(2)=V_{0x}\cdot2=22{,}2\cdot2=44{,}4\\ \mathrm{m},
y(2)=V_{0y}\cdot2-\tfrac12\,g\cdot(2)^2=29{,}6\cdot2-4{,}9\cdot4=59{,}2-19{,}6=39{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Ainda em t=2{,}0\\ \mathrm{s}, as componentes da velocidade são
V_x(2)=V_{0x}=22{,}2\\ \mathrm{m/s},
V_y(2)=V_{0y}-g\cdot2=29{,}6-9{,}8\cdot2=29{,}6-19{,}6=10{,}0\\ \mathrm{m/s}.
O módulo é
\lvert\mathbf V(2)\rvert=\sqrt{(22{,}2)^2+(10{,}0)^2}\approx24{,}35\\ \mathrm{m/s},
e a direção, contado da horizontal positiva,
\theta=\arctan\!\bigl(\tfrac{V_y}{V_x}\bigr)=\arctan\!\bigl(\tfrac{10{,}0}{22{,}2}\bigr)\approx24{,}2^\circ
para cima. Como V_y>0, o sentido vertical é de subida.

Passo 5

(b) O tempo para atingir altura máxima satisfaz V_y=0:
t_{\text{máx}}=\frac{V_{0y}}{g}=\frac{29{,}6}{9{,}8}\approx3{,}02\\ \mathrm{s}.á
A altura máxima pode ser obtida por
h=\frac{V_{0y}^2}{2g}=\frac{(29{,}6)^2}{2\cdot9{,}8}=\frac{876{,}16}{19{,}6}\approx44{,}73\\ \mathrm{m}.

Passo 6

(c) O tempo total de voo até voltar ao solo é
T=\frac{2\,V_{0y}}{g}=\frac{2\cdot29{,}6}{9{,}8}\approx6{,}04\\ \mathrm{s}.
O alcance horizontal é
R=V_{0x}\,T=22{,}2\cdot6{,}04\approx134{,}1\\ \mathrm{m}.
Ao atingir o solo,
V_x(T)=22{,}2\\ \mathrm{m/s},\quad V_y(T)=V_{0y}-g\,T=29{,}6-9{,}8\cdot6{,}04\approx -29{,}6\\ \mathrm{m/s}.
O módulo da velocidade é
\lvert\mathbf V(T)\rvert=\sqrt{(22{,}2)^2+(-29{,}6)^2}=\sqrt{1369}\approx37{,}0\\ \mathrm{m/s},
e a direção forma \arctan(29{,}6/22{,}2)=53{,}1^\circ abaixo da horizontal, indicando descida.

Resposta

a) Posição em t=2{,}0\\ \mathrm{s}: x=44{,}4\\ \mathrm{m}, y=39{,}6\\ \mathrm{m}.
Velocidade: \lvert\mathbf V\rvert\approx24{,}35\\ \mathrm{m/s}, \theta\approx24{,}2^\circ acima da horizontal, sentido de subida.
b) Tempo até o ápice t_{\text{máx}}\approx3{,}02\\ \mathrm{s}á, altura h\approx44{,}73\\ \mathrm{m}.
c) Alcance R\approx134{,}1\\ \mathrm{m}. Velocidade ao atingir o solo: \lvert\mathbf V\rvert\approx37{,}0\\ \mathrm{m/s}, \theta\approx53{,}1^\circ abaixo da horizontal.

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