Para um projétil lançado com velocidade inicial
formando um ângulo
(entre
), deduza expressões gerais para a altura máxima
a) Para um dado
, qual valor de
fornece altura máxima?
b) Qual valor fornece o alcance máximo?
a) Para um dado
b) Qual valor fornece o alcance máximo?
Passo 1
O enunciado trata de um projétil lançado com velocidade inicial
e ângulo de lançamento
com a horizontal, desprezando resistência do ar e variação de
. Precisamos usar a decomposição da velocidade em componentes horizontal e vertical, as equações do movimento uniformemente variado na direção vertical para obter a altura máxima
, e o tempo de voo combinado com a componente horizontal para obter o alcance
. Em seguida, vamos determinar quais valores de
maximizam
e
dado
fixo.
Passo 2
Na direção vertical, a componente inicial da velocidade é
O tempo até atingir a altura máxima é quando a velocidade vertical zera, ou seja
A altura máxima
é dada pela equação do deslocamento vertical
Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Para o alcance horizontal, a componente horizontal da velocidade é
O tempo total de voo
é o dobro de
, pois o projétil sobe e depois desce até o mesmo nível de lançamento:
Logo, o alcance horizontal
é
Passo 4
Para maximizar a altura
em função de
, note que
depende de
. O máximo ocorre quando
, ou seja
. Na faixa entre
e
, a solução é
Passo 5
Para maximizar o alcance
, observamos
O valor de
que torna
é
Resposta
a)
para altura máxima.
b) para alcance máximo.
b)