Para um projétil lançado com velocidade inicial \mathrm{v}_{0} \mathrm{e} formando um ângulo \alpha_{0} (entre 0^{\circ} \mathrm{e} 90^{\circ} ), deduza expressões gerais para a altura máxima h e ~ p a r a ~ o ~ a l c a n c e ~ h o r i z o n t a l ~ R . ~
a) Para um dado v_{0}, qual valor de \alpha_{0} fornece altura máxima?
b) Qual valor fornece o alcance máximo?

Passo 1

O enunciado trata de um projétil lançado com velocidade inicial v_{0} e ângulo de lançamento \alpha_{0} com a horizontal, desprezando resistência do ar e variação de g. Precisamos usar a decomposição da velocidade em componentes horizontal e vertical, as equações do movimento uniformemente variado na direção vertical para obter a altura máxima h, e o tempo de voo combinado com a componente horizontal para obter o alcance R. Em seguida, vamos determinar quais valores de \alpha_{0} maximizam h e R dado v_{0} fixo.

Passo 2

Na direção vertical, a componente inicial da velocidade é
v_{0y} = v_{0}\,\sin\alpha_{0}.
O tempo até atingir a altura máxima é quando a velocidade vertical zera, ou seja
t_{h} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{v_{0}\,\sin\alpha_{0}}{g}.
A altura máxima h é dada pela equação do deslocamento vertical
h = v_{0y}\,t_{h} \;-\;\tfrac{1}{2}\,g\,t_{h}^{2}.
Substituindo v_{0y} e t_{h} obtemos
h = \bigl(v_{0}\sin\alpha_{0}\bigr)\,\frac{v_{0}\sin\alpha_{0}}{g} \;-\; \tfrac{1}{2}\,g\,\biggl(\frac{v_{0}\sin\alpha_{0}}{g}\biggr)^{2} = \frac{v_{0}^{2}\,\sin^{2}\alpha_{0}}{2\,g}.

Passo 3

Para o alcance horizontal, a componente horizontal da velocidade é
v_{0x} = v_{0}\,\cos\alpha_{0}.
O tempo total de voo T é o dobro de t_{h}, pois o projétil sobe e depois desce até o mesmo nível de lançamento:
T = 2\,t_{h} = \frac{2\,v_{0}\,\sin\alpha_{0}}{g}.
Logo, o alcance horizontal R é
R = v_{0x}\,T = \bigl(v_{0}\cos\alpha_{0}\bigr)\,\frac{2\,v_{0}\,\sin\alpha_{0}}{g} = \frac{v_{0}^{2}\,\sin(2\,\alpha_{0})}{g}.

Passo 4

Para maximizar a altura h em função de \alpha_{0}, note que
h(\alpha_{0}) = \frac{v_{0}^{2}}{2\,g}\,\sin^{2}\alpha_{0}
depende de \sin^{2}\alpha_{0}. O máximo ocorre quando \sin^{2}\alpha_{0}=1, ou seja \sin\alpha_{0}=\pm1. Na faixa entre 0^\circ e 90^\circ, a solução é
\alpha_{0} = 90^\circ.

Passo 5

Para maximizar o alcance R, observamos
R(\alpha_{0}) = \frac{v_{0}^{2}}{g}\,\sin(2\,\alpha_{0}).
O valor de \alpha_{0} que torna \sin(2\,\alpha_{0})=1 é
2\,\alpha_{0} = 90^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha_{0} = 45^\circ.

Resposta

a) \displaystyle \alpha_{0}=90^\circ para altura máxima.
b) \displaystyle \alpha_{0}=45^\circ para alcance máximo.

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