As partículas A e B movem-se no plano x y e seus vetores de posição são rA=3,0 t i+(2,0 t-t^2) j e rB=(t+2 t^2) i-t^2 j, para t >= 0, em unidades S.I. Determine, em t=1,5 s, (a) a distância entre as partículas e (b) a velocidade relativa entre elas.
a velocidade relativa entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas partículas, a A e a B, que estão se movendo no plano xy. As posições delas são dadas por funções do tempo. Nosso objetivo aqui é, no instante de $ t = 1,5 $ segundos, descobrir duas coisas:
(a) qual a distância entre as partículas
(b) qual é a velocidade relativa entre elas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores posição e vetores velocidade, além de fórmulas de distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas posições das partículas no tempo $ t $. As posições são dadas por:
t
rA = 3,0, t, i + (2,0, t - t^2), j
Aqui, $ \hat{\mathrm{i}} $ e $ \hat{\mathrm{j}} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Para achar a distância entre as partículas no tempo $ t = 1,5 $ s, primeiro precisamos determinar as posições delas nesse instante.
Vamos calcular $ \vec{r}{A} $ e $ \vec{r}{B} $ para $ t = 1,5 $:
Para a partícula A:
t = 1,5
Para a partícula B:
rA

Passo 4

Vamos calcular os valores:
Para a partícula A:
xA = 3,0 times 1,5 = 4,5, m
yA = 2,0 times 1,5 - (1,5)^2 = 3,0 - 2,25 = 0,75, m
rA = 4,5, i + 0,75, j m
Para a partícula B:
xB = 1,5 + 2 times (1,5)^2 = 1,5 + 2 times 2,25 = 1,5 + 4,5 = 6,0, m
yB = - (1,5)^2 = -2,25, m
rB = 6,0, i - 2,25, j m
Agora que temos as posições das duas partículas no mesmo instante, podemos calcular a distância entre elas.

Passo 5

A distância entre dois pontos no plano xy pode ser encontrada usando a fórmula da distância:
d = raiz(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2
Vamos substituir os valores que encontramos:
d = raiz(6,0 - 4,5)^2 + (-2,25 - 0,75)^2 = raiz(1,5)^2 + (-3,0)^2 = raiz2,25 + 9,0 = raiz11,25 approx 3,35, m
Então, a distância entre as partículas no instante $ t = 1,5 $ s é aproximadamente 3,35 metros.

Passo 6

Agora, vamos descobrir a velocidade relativa entre as partículas. A velocidade relativa de A em relação a B é dada por:
vrel = vA - vB
Primeiro, precisamos encontrar as velocidades de cada partícula. Como a posição é uma função do tempo, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Vamos derivar $ \vec{r}{A} $ e $ \vec{r}{B} $ em relação a $ t $:
Para a partícula A:
rA
Para a partícula B:
rB
Agora, vamos calcular essas velocidades no instante $ t = 1,5 $ s:
Para a partícula A:
t
Para a partícula B:
vA = drAdt = ddt(3,0, t, i + (2,0, t - t^2), j) = 3,0, i + (2,0 - 2 t), j

Passo 7

Agora, vamos calcular a velocidade relativa:
vrel = vA - vB = (3,0, i - 1,0, j) - (7,0, i - 3,0, j) = (3,0 - 7,0), i + (-1,0 + 3,0), j = -4,0, i + 2,0, j m/s
A velocidade relativa entre as partículas é, portanto, -4,0, i + 2,0, j metros por segundo.

Resposta

(a) A distância entre as partículas em $ t = 1,5 $ s é aproximadamente 3,35 metros.
(b) A velocidade relativa entre as partículas nesse instante é -4,0 î + 2,0 ĵ m/s.

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