As partículas
e
movem-se no plano
e seus vetores de posição são
, para
, em unidades S.I. Determine, em
, (a) a distância entre as partículas e (b) a velocidade relativa entre elas.
a velocidade relativa entre elas.
a velocidade relativa entre elas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas partículas, a A e a B, que estão se movendo no plano xy. As posições delas são dadas por funções do tempo. Nosso objetivo aqui é, no instante de $ t = 1,5 $ segundos, descobrir duas coisas:
(a) qual a distância entre as partículas
(b) qual é a velocidade relativa entre elas.
(a) qual a distância entre as partículas
(b) qual é a velocidade relativa entre elas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores posição e vetores velocidade, além de fórmulas de distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas posições das partículas no tempo $ t $. As posições são dadas por:
Aqui, $ \hat{\mathrm{i}} $ e $ \hat{\mathrm{j}} $ são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Para achar a distância entre as partículas no tempo $ t = 1,5 $ s, primeiro precisamos determinar as posições delas nesse instante.
Vamos calcular $ \vec{r}{A} $ e $ \vec{r}{B} $ para $ t = 1,5 $:
Para a partícula A:
Para a partícula B:
Passo 4
Vamos calcular os valores:
Para a partícula A:
Para a partícula B:
Agora que temos as posições das duas partículas no mesmo instante, podemos calcular a distância entre elas.
Passo 5
A distância entre dois pontos no plano xy pode ser encontrada usando a fórmula da distância:
Vamos substituir os valores que encontramos:
Então, a distância entre as partículas no instante $ t = 1,5 $ s é aproximadamente 3,35 metros.
Passo 6
Agora, vamos descobrir a velocidade relativa entre as partículas. A velocidade relativa de A em relação a B é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar as velocidades de cada partícula. Como a posição é uma função do tempo, a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Vamos derivar $ \vec{r}{A} $ e $ \vec{r}{B} $ em relação a $ t $:
Para a partícula A:
Para a partícula B:
Agora, vamos calcular essas velocidades no instante $ t = 1,5 $ s:
Para a partícula A:
Para a partícula B:
Passo 7
Agora, vamos calcular a velocidade relativa:
A velocidade relativa entre as partículas é, portanto,
metros por segundo.
Resposta
(a) A distância entre as partículas em $ t = 1,5 $ s é aproximadamente 3,35 metros.
(b) A velocidade relativa entre as partículas nesse instante é -4,0 î + 2,0 ĵ m/s.