Uma bola de borracha cai de uma altura de 30m. Após o choque com o solo, a bola sobre a uma altura igual a 1/3 da altura anterios. Se deixarmos a boa subir e descer sem a interrupção qual sera a distância total percorrida por ela?
Passo 1
Vamos entender o problema: uma bola de borracha é solta de uma altura de 30 metros. Cada vez que ela bate no chão, sobe até 1/3 da altura anterior. Queremos descobrir a distância total que a bola vai percorrer enquanto continua quicando para sempre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, a bola cai os 30 metros iniciais até o chão.
Passo 3
No primeiro quique, a bola sobe até $ \frac{1}{3} $ de 30 metros, ou seja, 10 metros.
Passo 4
Depois de alcançar os 10 metros, a bola desce mais 10 metros de volta ao chão.
Passo 5
No segundo quique, a bola sobe $ \frac{1}{3} $ de 10 metros, que dá aproximadamente 3,33 metros.
Passo 6
Ela então desce novamente 3,33 metros.
Passo 7
Esse processo continua infinitamente, com cada quique subsequente sendo $ \frac{1}{3} $ da altura do anterior.
Passo 8
Para calcular a distância total, somamos todas as subidas e descidas:
Passo 9
A soma dentro dos parênteses é uma série geométrica infinita onde o primeiro termo $ a_1 = 10 $ e a razão $ r = \frac{1}{3} $. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Substituindo os valores:
Passo 10
Agora, multiplicamos essa soma por 2 e adicionamos aos 30 metros iniciais:
Resposta
A distância total percorrida pela bola é de 60 metros.