Uma bola de borracha cai de uma altura de 30m. Após o choque com o solo, a bola sobre a uma altura igual a 1/3 da altura anterios. Se deixarmos a boa subir e descer sem a interrupção qual sera a distância total percorrida por ela?

Passo 1

Vamos entender o problema: uma bola de borracha é solta de uma altura de 30 metros. Cada vez que ela bate no chão, sobe até 1/3 da altura anterior. Queremos descobrir a distância total que a bola vai percorrer enquanto continua quicando para sempre. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, a bola cai os 30 metros iniciais até o chão.

Passo 3

No primeiro quique, a bola sobe até $ \frac{1}{3} $ de 30 metros, ou seja, 10 metros.

Passo 4

Depois de alcançar os 10 metros, a bola desce mais 10 metros de volta ao chão.

Passo 5

No segundo quique, a bola sobe $ \frac{1}{3} $ de 10 metros, que dá aproximadamente 3,33 metros.

Passo 6

Ela então desce novamente 3,33 metros.

Passo 7

Esse processo continua infinitamente, com cada quique subsequente sendo $ \frac{1}{3} $ da altura do anterior.

Passo 8

Para calcular a distância total, somamos todas as subidas e descidas:
Distância Total = 30 + 2 times (10 + 3,33 + 1,11 + dots) â

Passo 9

A soma dentro dos parênteses é uma série geométrica infinita onde o primeiro termo $ a_1 = 10 $ e a razão $ r = \frac{1}{3} $. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
a1 = 10
Substituindo os valores:
r = 13

Passo 10

Agora, multiplicamos essa soma por 2 e adicionamos aos 30 metros iniciais:
Distância Total = 30 + 2 times 15 = 60 metros â

Resposta

A distância total percorrida pela bola é de 60 metros.

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