Uma bola cai de uma altura de 12 m . Cada vez que ela bate no chão, sobe a uma altura de três quartos da altura da queda anterior. Use uma série geométrica finita para obter uma aproximação da distância total percorrida pela bola até o repouso completo.

Passo 1

O enunciado descreve uma bola que cai de ,12 m. A cada impacto no chão ela sobe a uma altura igual a três quartos da altura da queda anterior. Para calcular a distância total percorrida até o repouso, vamos somar a queda inicial e todas as subidas e quedas subsequentes usando uma série geométrica finita.

Passo 2

A queda inicial tem distância de ,12 m. Após o primeiro impacto, a bola sobe
12 times 34
e em seguida cai a mesma altura. Em geral, no k-ésimo quique, a bola sobe e depois cai uma altura
12 (34)^k
Logo, a contribuição de subida + queda no k-ésimo quique é
2 times 12 (34)^k

Passo 3

Seja SN a distância total percorrida até o N-ésimo quique. Então
SN = 12 + sumk=1^N 2 cdot 12 (34)^k

Passo 4

Reconhecemos que sumk=1^N(3/4)^k é uma série geométrica de razão r=3/4. A soma dos primeiros N termos é
sumk=1^N(34)^k = 34l(1-(3/4)^Nr)1-34 = 3l(1-(3/4)^Nr)
Substituindo em SN vem
SN = 12 + 24 times 3l(1-(3/4)^Nr) = 12 + 72l(1-(3/4)^Nr) = 84 - 72(34)^N

Passo 5

Para obter a distância total até o repouso completo, fazemos Ntoinfty. Como
limNtoinfty(34)^N = 0,
temos
limNtoinftySN = 84

Resposta

A distância total percorrida pela bola até o repouso é de aproximadamente ,84 metros.

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