Uma bola cai de uma altura de 12 m . Cada vez que ela bate no chão, sobe a uma altura de três quartos da altura da queda anterior. Use uma série geométrica finita para obter uma aproximação da distância total percorrida pela bola até o repouso completo.
Passo 1
O enunciado descreve uma bola que cai de
m. A cada impacto no chão ela sobe a uma altura igual a três quartos da altura da queda anterior. Para calcular a distância total percorrida até o repouso, vamos somar a queda inicial e todas as subidas e quedas subsequentes usando uma série geométrica finita.
Passo 2
A queda inicial tem distância de
m. Após o primeiro impacto, a bola sobe
e em seguida cai a mesma altura. Em geral, no
-ésimo quique, a bola sobe e depois cai uma altura
Logo, a contribuição de subida
queda no
-ésimo quique é
Passo 3
Seja
a distância total percorrida até o
-ésimo quique. Então
Passo 4
Reconhecemos que
é uma série geométrica de razão
. A soma dos primeiros
termos é
Substituindo em
vem
Passo 5
Para obter a distância total até o repouso completo, fazemos
. Como
temos
Resposta
A distância total percorrida pela bola até o repouso é de aproximadamente
metros.