(vale
)
Sabendo-se que
é uma solução de
obtenha sua solução geral.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos dá a seguinte equação diferencial:
Sabemos que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução linearmente independente quando já conhecemos uma solução.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem pode ser escrita como:
onde
e
são constantes, e
e
são soluções lineares independentes da equação. Já conhecemos
, então precisamos encontrar
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos o método de redução de ordem, que assume que a segunda solução pode ser escrita como:
onde
é uma função a ser determinada. Substituindo
na expressão, temos:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Ou seja:
Passo 6
Podemos simplificar dividindo toda a equação por
:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem para
:
Passo 7
Essa equação pode ser resolvida integrando:
onde
é uma constante de integração. Agora, integramos novamente para encontrar
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 8
Retornando à expressão para
:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar
e absorver a constante
na constante geral. Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.