(vale 2,0 pts ) square Sabendo-se que y1=t^3 é uma solução de
t^2 y^prime prime-5 t y^prime+9 y=0, t>0
obtenha sua solução geral.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos dá a seguinte equação diferencial:
t^2 y^prime prime - 5 t y^prime + 9 y = 0, t > 0
Sabemos que uma solução dessa equação é y1 = t^3 . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que nos ajuda a encontrar uma segunda solução linearmente independente quando já conhecemos uma solução.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a solução geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem pode ser escrita como:
y(t) = C1 y1(t) + C2 y2(t)
onde C1 e C2 são constantes, e y1(t) e y2(t) são soluções lineares independentes da equação. Já conhecemos y1 = t^3 , então precisamos encontrar y2 .

Passo 3

Para encontrar y2 , usamos o método de redução de ordem, que assume que a segunda solução pode ser escrita como:
y2(t) = v(t) y1(t)
onde v(t) é uma função a ser determinada. Substituindo y1 na expressão, temos:
y2(t) = v(t) t^3

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de y2(t) :
y2^prime = v^prime t^3 + 3 v t^2
y2^primeprime = v^primeprime t^3 + 6 v^prime t^2 + 6 v t

Passo 5

Substituímos y2 , y2^prime e y2^primeprime na equação diferencial original:
t^2(v^primeprime t^3 + 6 v^prime t^2 + 6 v t) - 5 t (v^prime t^3 + 3 v t^2) + 9 v t^3 = 0
Simplificando:
v^primeprime t^5 + 6 v^prime t^4 + 6 v t^3 - 5 v^prime t^4 - 15 v t^3 + 9 v t^3 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
v^primeprime t^5 + (6 v^prime t^4 - 5 v^prime t^4) + (6 v t^3 - 15 v t^3 + 9 v t^3) = 0
v^primeprime t^5 + v^prime t^4 + 0 = 0
Ou seja:
t^5 v^primeprime + t^4 v^prime = 0

Passo 6

Podemos simplificar dividindo toda a equação por t^4 :
t v^primeprime + v^prime = 0
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem para v^prime :
ddt (v^prime) + 1t v^prime = 0

Passo 7

Essa equação pode ser resolvida integrando:
v^prime = Ct
onde C é uma constante de integração. Agora, integramos novamente para encontrar v(t) :
v(t) = C ln t + D
onde D é outra constante de integração.

Passo 8

Retornando à expressão para y2(t) :
y2(t) = v(t) t^3 = (C ln t + D) t^3
Como estamos buscando uma solução particular, podemos considerar D = 0 e absorver a constante C na constante geral. Portanto:
y2(t) = t^3 ln t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 t^3 + C2 t^3 ln t
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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