Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty (n+1)^2n(n+2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
sumn=1^infty(n+1)^2n(n+2)
Vamos usar divisão polinomial para reescrever o termo geral e depois frações parciais para ver se há parte que diverge.

Passo 2

Fazendo a divisão de polinômios, temos
(n+1)^2n(n+2) = n^2+2n+1n^2+2n =1+1n(n+2)

Passo 3

Decompondo o termo dfrac1n(n+2) em frações parciais, obtemos
1n(n+2) =12l(1n-1n+2r)

Passo 4

Considere a soma parcial
SN=sumn=1^N(n+1)^2n(n+2) =sumn=1^Nl(1+1n(n+2)r) = N+12sumn=1^Nl(1n-1n+2r)
A soma telescópica é
sumn=1^Nl(1n-1n+2r) =1+tfrac12-1N+1-1N+2 =32-1N+1-1N+2
Logo
SN = N+12l(32-1N+1-1N+2r) = N+34-12(N+1)-12(N+2)

Passo 5

Note que limNtoinftySN=+infty, pois o termo N domina. Portanto a série não converge.

Resposta

A série é divergente.

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