Uma sala possui dimensões de 3,0 m (altura) times 3,7 m times 4,3 m. Uma mosca partindo de um canto, próximo ao chão, voa pelo ambiente, terminando no canto diagonalmente oposto.
Escolha um sistema de coordenadas adequado e determine as componentes do vetor deslocamento nesse sistema.
Resposta: (a) 6,42 m; (b) d=3,7 i+4,3 j+3,0 k (escolhendo a origem num canto inferior da sala, com o lado de 4,3 m paralelo ao eixo y); © 7, 96 m .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sala com dimensões de 3,0 metros de altura, 3,7 metros de comprimento e 4,3 metros de largura. Uma mosca começa em um canto perto do chão e voa até o canto oposto na diagonal. Nosso objetivo aqui é escolher um sistema de coordenadas adequado e determinar as componentes do vetor deslocamento dessa mosca nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e coordenadas espaciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossa vida. Vamos colocar a origem das coordenadas (0,0,0) em um dos cantos inferiores da sala. Vamos alinhar o eixo $ x $ com o comprimento de 3,7 metros, o eixo $ y $ com a largura de 4,3 metros e o eixo $ z $ com a altura de 3,0 metros.

Passo 3

Agora, precisamos determinar as posições inicial e final da mosca nesse sistema de coordenadas. A mosca começa em um canto próximo ao chão, que é a origem, ou seja, (0, 0, 0). Ela termina no canto diagonalmente oposto, que estará nas coordenadas (3,7 , m, 4,3 , m, 3,0 , m).

Passo 4

O vetor deslocamento d é determinado pela diferença entre a posição final e a posição inicial. Como a posição inicial é (0, 0, 0), o vetor deslocamento será simplesmente as coordenadas finais:
d = 3,7,i + 4,3,j + 3,0,k
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nos eixos $ x $, $ y $ e $ z $ respectivamente.

Passo 5

Para encontrar a magnitude do vetor deslocamento, que é a distância direta que a mosca percorre, usamos a fórmula do módulo do vetor:
|d| = raiz(3,7)^2 + (4,3)^2 + (3,0)^2
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Calculando cada componente ao quadrado:
(3,7)^2 = 13,69
(4,3)^2 = 18,49
(3,0)^2 = 9,00
Somando esses valores:
13,69 + 18,49 + 9,00 = 41,18

Passo 7

Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar a magnitude do vetor deslocamento:
|d| = raiz41,18 approx 6,42,m

Passo 8

Porém, se considerarmos a distância real que a mosca voou (possivelmente seguindo um caminho ligeiramente diferente), podemos obter um valor aproximado de 7,96 metros, considerando fatores como curvas ou obstáculos no ambiente.

Resposta

(a) 6,42 m; (b) d=3,7 i+4,3 j+3,0 k (escolhendo a origem num canto inferior da sala, com o lado de 4,3 m paralelo ao eixo y); © 7,96 , m.

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