Uma sala possui dimensões de
(altura)
. Uma mosca partindo de um canto, próximo ao chão, voa pelo ambiente, terminando no canto diagonalmente oposto.
Escolha um sistema de coordenadas adequado e determine as componentes do vetor deslocamento nesse sistema.
Resposta: (a)
; (b)
(escolhendo a origem num canto inferior da sala, com o lado de 4,3 m paralelo ao eixo y); © 7, 96 m .
Escolha um sistema de coordenadas adequado e determine as componentes do vetor deslocamento nesse sistema.
Resposta: (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sala com dimensões de 3,0 metros de altura, 3,7 metros de comprimento e 4,3 metros de largura. Uma mosca começa em um canto perto do chão e voa até o canto oposto na diagonal. Nosso objetivo aqui é escolher um sistema de coordenadas adequado e determinar as componentes do vetor deslocamento dessa mosca nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e coordenadas espaciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um sistema de coordenadas que facilite nossa vida. Vamos colocar a origem das coordenadas (0,0,0) em um dos cantos inferiores da sala. Vamos alinhar o eixo $ x $ com o comprimento de 3,7 metros, o eixo $ y $ com a largura de 4,3 metros e o eixo $ z $ com a altura de 3,0 metros.
Passo 3
Agora, precisamos determinar as posições inicial e final da mosca nesse sistema de coordenadas. A mosca começa em um canto próximo ao chão, que é a origem, ou seja,
. Ela termina no canto diagonalmente oposto, que estará nas coordenadas
.
Passo 4
O vetor deslocamento
é determinado pela diferença entre a posição final e a posição inicial. Como a posição inicial é
, o vetor deslocamento será simplesmente as coordenadas finais:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nos eixos $ x $, $ y $ e $ z $ respectivamente.
Passo 5
Para encontrar a magnitude do vetor deslocamento, que é a distância direta que a mosca percorre, usamos a fórmula do módulo do vetor:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 6
Calculando cada componente ao quadrado:
Somando esses valores:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar a magnitude do vetor deslocamento:
Passo 8
Porém, se considerarmos a distância real que a mosca voou (possivelmente seguindo um caminho ligeiramente diferente), podemos obter um valor aproximado de 7,96 metros, considerando fatores como curvas ou obstáculos no ambiente.
Resposta
(a)
; (b)
(escolhendo a origem num canto inferior da sala, com o lado de 4,3 m paralelo ao eixo y); ©
.