Uma partícula cuja energia cinética é duas vezes a sua energia de repouso possui comprimento de onda de de Broglie de
. Qual será o comprimento de onda se a energia cinética for triplicada?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- A energia de repouso da partícula é
. - A energia cinética inicial é
. - O comprimento de onda de de Broglie correspondente a esse caso inicial é
. - A pergunta: qual será o comprimento de onda quando a energia cinética for triplicada? Interpretation: a nova energia cinética é
.
Observação numérica que vou usar a partir do enunciado: como
, então
. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
-
Comprimento de onda de de Broglie:
, onde -
é a constante de Planck, -
é o momento linear da partícula.
-
-
Relação energia-momento relativística:onde
-
é a energia total da partícula (repouso + cinética), -
é a massa de repouso, -
é a velocidade da luz.
-
-
Também é útil a definição do fator relativístico
: E a velocidade em unidades deé com O momento pode ser escrito como
Vou aplicar essas relações primeiro ao caso inicial e depois ao caso com energia cinética triplicada.
Passo 3
Caso inicial (
):
-
Energia total inicial:Então
-
Calculando
: -
Momento inicial:
-
Pelo de Broglie:Desta igualdade segue uma expressão útil para
:
Passo 4
Caso com energia cinética triplicada (
):
-
Energia total nova:então
-
Calculando
: -
Momento novo:
Passo 5
Agora o novo comprimento de onda:
Substituindo
obtido no passo 3:
Simplificando a constante:
Portanto chega-se à relação muito simples:
Passo 6
Cálculo numérico. Usando
e
(ou
):