Uma partícula cuja energia cinética é duas vezes a sua energia de repouso possui comprimento de onda de de Broglie de 4,3198 \times 10^{-6} \mathrm{~nm}. Qual será o comprimento de onda se a energia cinética for triplicada?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • A energia de repouso da partícula é E_0 = m c^2.
  • A energia cinética inicial é K_1 = 2 E_0.
  • O comprimento de onda de de Broglie correspondente a esse caso inicial é \lambda_1 = 4,3198\times10^{-6}\\ \mathrm{nm}.
  • A pergunta: qual será o comprimento de onda quando a energia cinética for triplicada? Interpretation: a nova energia cinética é K_2 = 3 K_1.
Observação numérica que vou usar a partir do enunciado: como K_1 = 2 E_0, então K_2 = 3K_1 = 6 E_0. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Relembrando as fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
  • Comprimento de onda de de Broglie: \lambda = \dfrac{h}{p}, onde
    • h é a constante de Planck,
    • p é o momento linear da partícula.
  • Relação energia-momento relativística:
    E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2,
    onde
    • E é a energia total da partícula (repouso + cinética),
    • m é a massa de repouso,
    • c é a velocidade da luz.
  • Também é útil a definição do fator relativístico \gamma:
    E = \gamma m c^2,\qquad \gamma=\frac{E}{m c^2}.
    E a velocidade em unidades de c é \beta = v/c com
    \beta=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}.
    O momento pode ser escrito como
    p=\gamma m v = \gamma m c\,\beta.
Vou aplicar essas relações primeiro ao caso inicial e depois ao caso com energia cinética triplicada.

Passo 3

Caso inicial ( K_1 = 2 E_0):
  • Energia total inicial:
    E_1 = E_0 + K_1 = E_0 + 2E_0 = 3E_0.
    Então
    \gamma_1 = \frac{E_1}{E_0} = 3.
  • Calculando \beta_1:
    \beta_1 = \sqrt{1-\frac{1}{\gamma_1^2}} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.
  • Momento inicial:
    p_1 = \gamma_1 m c\,\beta_1 = 3\,m c\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}\,m c.
  • Pelo de Broglie:
    \lambda_1 = \frac{h}{p_1} = \frac{h}{2\sqrt{2}\,m c}.
    Desta igualdade segue uma expressão útil para \dfrac{h}{m c}:
    \frac{h}{m c} = 2\sqrt{2}\,\lambda_1.

Passo 4

Caso com energia cinética triplicada ( K_2 = 3K_1 = 6 E_0):
  • Energia total nova:
    E_2 = E_0 + K_2 = E_0 + 6E_0 = 7E_0,
    então
    \gamma_2 = \frac{E_2}{E_0} = 7.
  • Calculando \beta_2:
    \beta_2 = \sqrt{1-\frac{1}{\gamma_2^2}} = \sqrt{1-\frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}.
  • Momento novo:
    p_2 = \gamma_2 m c\,\beta_2 = 7\,m c\cdot\frac{4\sqrt{3}}{7} = 4\sqrt{3}\,m c.

Passo 5

Agora o novo comprimento de onda:
\lambda_2 = \frac{h}{p_2} = \frac{h}{4\sqrt{3}\,m c}.
Substituindo \dfrac{h}{m c} obtido no passo 3:
\lambda_2 = \left(2\sqrt{2}\,\lambda_1\right)\cdot\frac{1}{4\sqrt{3}} = \lambda_1\cdot\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}.
Simplificando a constante:
\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6}}.
Portanto chega-se à relação muito simples:
\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{\sqrt{6}}.

Passo 6

Cálculo numérico. Usando \lambda_1 = 4,3198\times10^{-6}\\ \mathrm{nm} e \sqrt{6}\approx2,4494897428 (ou 1/\sqrt{6}\approx0,4082482905):
\lambda_2 = \frac{4,3198\times10^{-6}}{\sqrt{6}}\\ \mathrm{nm} \approx 1,7636\times10^{-6}\\ \mathrm{nm}.

Resposta

1,7636\times10^{-6}\\ \mathrm{nm}

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