Uma bola é chutada do alto de um prédio de 8 m com uma velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a um ângulo de 30^{\circ} em relação a horizontal. Calcule a altura máxima e a distância percorrida na horizontal até tocar o chão.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo abaixo foi extraído diretamente do enunciado):
  • Uma bola é chutada do alto de um prédio com altura \,8\\ \text{m}\,. Ou seja, a altura inicial é \;h_0 = 8\\ \text{m}.
  • A velocidade inicial tem módulo \;v_0 = 10\\ \text{m/s}\; e direção formando um ângulo de \;30^\circ\; com a horizontal.
  • Deve-se calcular:
    1. a altura máxima atingida pela bola (isto é, o valor de \;h_{\max}\;);
    2. a distância percorrida na horizontal desde o ponto de partida até o momento em que a bola toca o chão (isto é, o alcance horizontal total).
Observação importante (decisão que tomei para poder calcular números sem ambiguidade): vou usar \;g = 10\\ \text{m/s}^2\; para a aceleração da gravidade, porque é um valor padrão em muitos exercícios e facilita as contas sem calculadora. Se a sua prova usar \;g=9{,}8\\ \text{m/s}^2\;, os passos e fórmulas são os mesmos; só mudam as contas numéricas.

Passo 2

Primeira técnica necessária: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é fundamental em movimentos oblíquos porque o movimento horizontal e o vertical podem ser tratados separadamente (horizontal com velocidade constante se desprezarmos resistência do ar; vertical com aceleração -g).
  • Definição das componentes:
    • Componente horizontal: \;v_{0x} = v_0\cos\theta.
    • Componente vertical: \;v_{0y} = v_0\sin\theta.
Aqui \;v_0 é o módulo da velocidade inicial, \;\theta é o ângulo com a horizontal, \;v_{0x} é a velocidade ao longo do eixo x (horizontal) e \;v_{0y} é a velocidade inicial ao longo do eixo y (vertical, positiva para cima).
Substituindo \;v_0=10\\ \text{m/s} e \;\theta=30^\circ:
v_{0x} = 10\cos(30^\circ),\qquad v_{0y} = 10\sin(30^\circ).
Recordando valores trigonométricos básicos: \;\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660\; e \;\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}=0{,}5.
Logo:
v_{0x} = 10\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\\ \text{m/s}\approx 8{,}66\\ \text{m/s},
v_{0y} = 10\cdot\dfrac{1}{2} = 5\\ \text{m/s}.

Passo 3

Calcular a altura máxima \;h_{\max}.
Raciocínio físico: a altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade se anula ( \;v_y=0). Podemos encontrar o tempo até o topo usando a equação da velocidade vertical com aceleração constante:
v_y(t) = v_{0y} - g t.
No topo v_y=0, então
0 = v_{0y} - g t_{\text{top}} \quad\Rightarrow\quad t_{\text{top}} = \dfrac{v_{0y}}{g}.
Substituindo os valores:
t_{\text{top}} = \dfrac{5}{10} = 0{,}5\\ \text{s}.
Agora usamos a equação da posição vertical para achar quanto sobe a partir da altura inicial:
y(t) = h_0 + v_{0y}t - \dfrac{1}{2} g t^2.
No topo, y(t_{\text{top}})=h_{\max}. Substituindo t_{\text{top}}=0{,}5\\ \text{s}:
h_{\max} = 8 + 5\cdot 0{,}5 - \dfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot (0{,}5)^2.
Calcule passo a passo:
5\cdot 0{,}5 = 2{,}5,
\dfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 0{,}25 = 5\cdot 0{,}25 = 1{,}25.
Então o acréscimo de altura é 2{,}5 - 1{,}25 = 1{,}25\\ \text{m}. Portanto
h_{\max} = 8 + 1{,}25 = 9{,}25\\ \text{m}.
Breve interpretação amigável: a bola sobe \;1{,}25\\ \text{m} acima do topo do prédio antes de começar a descer, atingindo 9{,}25\\ \text{m} acima do solo.

Passo 4

Calcular o tempo total de voo até a bola tocar o chão e, a partir disso, o alcance horizontal.
Para achar o instante em que a bola atinge o chão, resolvemos a equação vertical da posição impondo y(t)=0 (nível do chão):
0 = h_0 + v_{0y}t - \dfrac{1}{2} g t^2.
Colocando os números (onde \tfrac{1}{2}g = 5):
0 = 8 + 5t - 5t^2.
Reescrevendo na forma padrão de equação quadrática:
5t^2 - 5t - 8 = 0.
Aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula de resolução de quadrática). Para uma equação \;a t^2 + b t + c = 0\;, as raízes são
t = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
Aqui a=5, b=-5, c=-8. O discriminante é
\Delta = b^2 - 4 a c = (-5)^2 - 4\cdot 5 \cdot (-8) = 25 + 160 = 185.
Logo as raízes são
t = \dfrac{5 \pm \sqrt{185}}{10}.
Temos uma raiz negativa (tempo passado) e uma positiva (tempo futuro). Tomamos a positiva:
t_{\text{total}} = \dfrac{5 + \sqrt{185}}{10}.
Para calcular numericamente \sqrt{185} sem depender de calculadora, podemos estimar: 13^2=169 e 14^2=196, então \sqrt{185} está entre 13 e 14. Uma aproximação rápida por interpolação ou por um passo de Newton dá \sqrt{185}\approx 13{,}60. Assim
t_{\text{total}} \approx \dfrac{5 + 13{,}60}{10} = \dfrac{18{,}60}{10} = 1{,}860\\ \text{s}.
Comentário: existe também uma forma algébrica direta, útil para prova, obtida isolando a raiz desde o início:
t_{\text{total}} = \dfrac{v_{0y} + \sqrt{v_{0y}^2 + 2 g h_0}}{g}.
Substituindo v_{0y}=5, g=10, h_0=8 obtemos a mesma expressão numérica.

Passo 5

Agora calculamos a distância horizontal percorrida: como não há aceleração horizontal (desprezando resistência), a posição horizontal é
x(t) = v_{0x}\, t.
Então o alcance total é
R = v_{0x}\, t_{\text{total}}.
Usando v_{0x} = 5\sqrt{3}\\ \text{m/s} e t_{\text{total}}\approx 1{,}860\\ \text{s}:
R \approx 5\sqrt{3}\cdot 1{,}860.
Sabendo \sqrt{3}\approx 1{,}732, temos 5\sqrt{3}\approx 8{,}660. Multiplicando:
R \approx 8{,}660 \times 1{,}860 \approx 16{,}12\\ \text{m}.
Interpretação rápida: a bola percorre cerca de \;16{,}1\\ \text{m} horizontalmente desde o ponto de lançamento até cair no chão.

Resposta

\text{Altura máxima} = 9{,}25\\ \text{m}á
\text{Alcance horizontal} = 16{,}12\\ \text{m}

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