Uma bola é chutada do alto de um prédio de 8 m com uma velocidade de
a um ângulo de
em relação a horizontal. Calcule a altura máxima e a distância percorrida na horizontal até tocar o chão.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (tudo abaixo foi extraído diretamente do enunciado):
- Uma bola é chutada do alto de um prédio com altura
. Ou seja, a altura inicial é . - A velocidade inicial tem módulo
e direção formando um ângulo de com a horizontal. - Deve-se calcular:
- a altura máxima atingida pela bola (isto é, o valor de
); - a distância percorrida na horizontal desde o ponto de partida até o momento em que a bola toca o chão (isto é, o alcance horizontal total).
- a altura máxima atingida pela bola (isto é, o valor de
Observação importante (decisão que tomei para poder calcular números sem ambiguidade): vou usar
para a aceleração da gravidade, porque é um valor padrão em muitos exercícios e facilita as contas sem calculadora. Se a sua prova usar
, os passos e fórmulas são os mesmos; só mudam as contas numéricas.
Passo 2
Primeira técnica necessária: decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. Isso é fundamental em movimentos oblíquos porque o movimento horizontal e o vertical podem ser tratados separadamente (horizontal com velocidade constante se desprezarmos resistência do ar; vertical com aceleração
).
- Definição das componentes:
- Componente horizontal:
. - Componente vertical:
.
- Componente horizontal:
Aqui
é o módulo da velocidade inicial,
é o ângulo com a horizontal,
é a velocidade ao longo do eixo
(horizontal) e
é a velocidade inicial ao longo do eixo
(vertical, positiva para cima).
Substituindo
e
:
Recordando valores trigonométricos básicos:
e
.
Logo:
Passo 3
Calcular a altura máxima
.
Raciocínio físico: a altura máxima ocorre quando a componente vertical da velocidade se anula (
). Podemos encontrar o tempo até o topo usando a equação da velocidade vertical com aceleração constante:
No topo
, então
Substituindo os valores:
Agora usamos a equação da posição vertical para achar quanto sobe a partir da altura inicial:
No topo,
. Substituindo
:
Calcule passo a passo:
Então o acréscimo de altura é
. Portanto
Breve interpretação amigável: a bola sobe
acima do topo do prédio antes de começar a descer, atingindo
acima do solo.
Passo 4
Calcular o tempo total de voo até a bola tocar o chão e, a partir disso, o alcance horizontal.
Para achar o instante em que a bola atinge o chão, resolvemos a equação vertical da posição impondo
(nível do chão):
Colocando os números (onde
):
Reescrevendo na forma padrão de equação quadrática:
Aplicamos a fórmula de Bhaskara (fórmula de resolução de quadrática). Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. O discriminante é
Logo as raízes são
Temos uma raiz negativa (tempo passado) e uma positiva (tempo futuro). Tomamos a positiva:
Para calcular numericamente
sem depender de calculadora, podemos estimar:
e
, então
está entre
e
. Uma aproximação rápida por interpolação ou por um passo de Newton dá
. Assim
Comentário: existe também uma forma algébrica direta, útil para prova, obtida isolando a raiz desde o início:
Substituindo
,
,
obtemos a mesma expressão numérica.
Passo 5
Agora calculamos a distância horizontal percorrida: como não há aceleração horizontal (desprezando resistência), a posição horizontal é
Então o alcance total é
Usando
e
:
Sabendo
, temos
. Multiplicando:
Interpretação rápida: a bola percorre cerca de
horizontalmente desde o ponto de lançamento até cair no chão.