Seja a posição de um sistema dada por \mathrm{x}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t}^{3}-9 \mathrm{t}^{2}+\mathrm{t}. Calcule a posição e a velocidade para \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=9.

Passo 1

O enunciado dá a posição do sistema como função do tempo:
\mathrm{x}(\mathrm{t})=2\mathrm{t}^{3}-9\mathrm{t}^{2}+\mathrm{t}.
O que ele pede:
  • Calcular a posição em \mathrm{t}=0.
  • Calcular a velocidade em \mathrm{t}=0.
  • Calcular a posição em \mathrm{t}=9.
  • Calcular a velocidade em \mathrm{t}=9.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função posição é \mathrm{x}(\mathrm{t})=2\mathrm{t}^{3}-9\mathrm{t}^{2}+\mathrm{t}.
  • Os instantes de interesse são \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=9.

Passo 2

O que é velocidade aqui e como vamos obtê‑la. A velocidade instantânea \mathrm{v}(\mathrm{t}) é a derivada da posição em relação ao tempo:
\mathrm{v}(\mathrm{t})=\frac{d\mathrm{x}}{d\mathrm{t}}.
Intuitivamente, derivar significa calcular a taxa de variação instantânea de \mathrm{x} quando \mathrm{t} muda — pense na inclinação da curva \mathrm{x}(\mathrm{t}) em cada ponto.

Passo 3

Regra prática que vamos usar (regra da potência):
  • Se uma função tem um termo a\mathrm{t}^{n}, então
\frac{d}{d\mathrm{t}}\bigl(a\mathrm{t}^{n}\bigr)=a\cdot n\mathrm{t}^{n-1}.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de \mathrm{t} (que é \mathrm{t}^{1}) é 1.
    Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 4

Derivar \mathrm{x}(\mathrm{t}) termo a termo:
\mathrm{x}(\mathrm{t})=2\mathrm{t}^{3}-9\mathrm{t}^{2}+\mathrm{t}.
Aplicando a regra da potência:
  • Derivada de 2\mathrm{t}^{3} é 2\cdot 3\mathrm{t}^{2}=6\mathrm{t}^{2}.
  • Derivada de -9\mathrm{t}^{2} é -9\cdot 2\mathrm{t}=-18\mathrm{t}.
  • Derivada de \mathrm{t} é 1.
Portanto a velocidade é
\mathrm{v}(\mathrm{t})=6\mathrm{t}^{2}-18\mathrm{t}+1.

Passo 5

Calcular a posição em \mathrm{t}=0. Substituir \mathrm{t}=0 em \mathrm{x}(\mathrm{t}):
\mathrm{x}(0)=2\cdot 0^{3}-9\cdot 0^{2}+0=0-0+0=0.

Passo 6

Calcular a velocidade em \mathrm{t}=0. Substituir \mathrm{t}=0 em \mathrm{v}(\mathrm{t}):
\mathrm{v}(0)=6\cdot 0^{2}-18\cdot 0+1=0-0+1=1.

Passo 7

Calcular a posição em \mathrm{t}=9. Substituir \mathrm{t}=9 em \mathrm{x}(\mathrm{t}):
\mathrm{x}(9)=2\cdot 9^{3}-9\cdot 9^{2}+9.
Calcular passo a passo:
9^{2}=81,\qquad 9^{3}=729,
2\cdot 729=1458,\qquad 9\cdot 81=729,
\mathrm{x}(9)=1458-729+9=729+9=738.

Passo 8

Calcular a velocidade em \mathrm{t}=9. Substituir \mathrm{t}=9 em \mathrm{v}(\mathrm{t}):
\mathrm{v}(9)=6\cdot 9^{2}-18\cdot 9+1.
Usando 9^{2}=81:
6\cdot 81=486,\qquad 18\cdot 9=162,
\mathrm{v}(9)=486-162+1=324+1=325.

Resposta

\mathrm{x}(0)=0
\mathrm{v}(0)=1
\mathrm{x}(9)=738
\mathrm{v}(9)=325

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