Seja
a aceleração de um sistema.
a) Calcule a velocidade em
sabendo que em
, a velocidade é
.
b) Calcule a posição emt - 10s sabendo que:
.
a) Calcule a velocidade em
b) Calcule a posição emt - 10s sabendo que:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
- A aceleração do sistema é
. - A velocidade inicial é
. - A posição inicial é
.
O enunciado pede:
(a) Calcular a velocidade em .
(b) Calcular a posição em .
(a) Calcular a velocidade em
(b) Calcular a posição em
Passo 2
Conceito e estratégia (passo a passo do que vamos usar, explicado como numa aulinha):
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
- Para obter a velocidade a partir da aceleração fazemos a integral temporal:
onde
é uma constante vetorial determinada pela condição inicial
.
- Depois, a velocidade é a derivada da posição:
portanto para obter a posição integramos a velocidade:
onde
é uma constante vetorial determinada pela condição inicial
.
Explicando a integração componente a componente:
- Integramos cada componente (
, , ) separadamente porque integração é linear e os vetores separam-se nas direções . - Regras básicas que vamos usar:
, se é constante, e .
Passo 3
Integração de
para obter
e determinação das constantes usando
.
Escrevendo
componente a componente:
Integramos cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Agora usamos a condição inicial
para encontrar
:
- Em
: . Logo . - Em
: . Logo . - Em
: . Logo .
Portanto a expressão geral da velocidade é
Agora avaliamos em
:
-
. -
. -
.
Logo
Passo 4
Integração de
para obter
e determinação das constantes usando
.
Reescrevendo
:
Integramos componente a componente para obter
:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Usamos a condição inicial
para determinar
:
- Em
: . Logo . - Em
: . Logo . - Em
: . Logo .
Portanto a expressão geral da posição é
Passo 5
Avaliação de
em
com cálculo detalhado das componentes.
Componente
em
:
Somando
. Escrevendo como fração comum:
(Como decimal isto é
, mas é bom deixar em fração exata
.)
Componente
em
:
Componente
em
:
Portanto
Resposta
(a)
(b)