Seja \mathrm{a}(\mathrm{t})=2 \mathrm{t} \hat{\mathrm{i}}-5 \mathrm{k} a aceleração de um sistema.
a) Calcule a velocidade em \mathrm{t}=5 \mathrm{~s} sabendo que em \mathrm{t}=0, a velocidade é \mathrm{v}(\mathrm{t}=0)= 10 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+\mathrm{k}.
b) Calcule a posição emt - 10s sabendo que: r(0)=5 \hat{i}-10 \hat{j}+0 \mathrm{k}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • A aceleração do sistema é \mathbf{a}(t)=2t\,\hat{\mathbf{i}}-5\,\hat{\mathbf{k}}.
  • A velocidade inicial é \mathbf{v}(0)=10\,\hat{\mathbf{i}}+3\,\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}.
  • A posição inicial é \mathbf{r}(0)=5\,\hat{\mathbf{i}}-10\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}}.
O enunciado pede:
(a) Calcular a velocidade em t=5\\ \text{s}.
(b) Calcular a posição em t=10\\ \text{s}.

Passo 2

Conceito e estratégia (passo a passo do que vamos usar, explicado como numa aulinha):
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ou seja,
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}.
  • Para obter a velocidade a partir da aceleração fazemos a integral temporal:
\mathbf{v}(t)=\int \mathbf{a}(t)\,dt + \mathbf{C},
onde \mathbf{C} é uma constante vetorial determinada pela condição inicial \mathbf{v}(0).
  • Depois, a velocidade é a derivada da posição:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt},
portanto para obter a posição integramos a velocidade:
\mathbf{r}(t)=\int \mathbf{v}(t)\,dt + \mathbf{D},
onde \mathbf{D} é uma constante vetorial determinada pela condição inicial \mathbf{r}(0).
Explicando a integração componente a componente:
  • Integramos cada componente ( x, y, z ) separadamente porque integração é linear e os vetores separam-se nas direções \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}.
  • Regras básicas que vamos usar: \int 2t\,dt=t^{2}+C, \int a\,dt = a\,t + C se a é constante, e \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 3

Integração de \mathbf{a}(t) para obter \mathbf{v}(t) e determinação das constantes usando \mathbf{v}(0).
Escrevendo \mathbf{a}(t) componente a componente:
\mathbf{a}(t)=\bigl(2t\bigr)\,\hat{\mathbf{i}} + 0\,\hat{\mathbf{j}} + \bigl(-5\bigr)\,\hat{\mathbf{k}}.
Integramos cada componente:
  • Componente x:
v_x(t)=\int 2t\,dt = t^{2}+C_x.
  • Componente y:
v_y(t)=\int 0\,dt = C_y.
  • Componente z:
v_z(t)=\int (-5)\,dt = -5t + C_z.
Agora usamos a condição inicial \mathbf{v}(0)=10\,\hat{\mathbf{i}}+3\,\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}} para encontrar C_x,C_y,C_z:
  • Em t=0: v_x(0)=0^{2}+C_x=C_x=10. Logo C_x=10.
  • Em t=0: v_y(0)=C_y=3. Logo C_y=3.
  • Em t=0: v_z(0)=-5\cdot 0 + C_z=C_z=1. Logo C_z=1.
Portanto a expressão geral da velocidade é
\mathbf{v}(t)=\bigl(t^{2}+10\bigr)\,\hat{\mathbf{i}}+3\,\hat{\mathbf{j}}+\bigl(-5t+1\bigr)\,\hat{\mathbf{k}}.
Agora avaliamos em t=5\\ \text{s}:
  • v_x(5)=5^{2}+10=25+10=35.
  • v_y(5)=3.
  • v_z(5)=-5\cdot 5 +1 = -25+1 = -24.
Logo
\mathbf{v}(5)=35\,\hat{\mathbf{i}}+3\,\hat{\mathbf{j}}-24\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 4

Integração de \mathbf{v}(t) para obter \mathbf{r}(t) e determinação das constantes usando \mathbf{r}(0).
Reescrevendo \mathbf{v}(t):
\mathbf{v}(t)=\bigl(t^{2}+10\bigr)\,\hat{\mathbf{i}} + 3\,\hat{\mathbf{j}} + \bigl(-5t+1\bigr)\,\hat{\mathbf{k}}.
Integramos componente a componente para obter \mathbf{r}(t):
  • Componente x:
r_x(t)=\int \bigl(t^{2}+10\bigr)\,dt = \frac{1}{3}t^{3}+10t + D_x.
  • Componente y:
r_y(t)=\int 3\,dt = 3t + D_y.
  • Componente z:
r_z(t)=\int \bigl(-5t+1\bigr)\,dt = -\frac{5}{2}t^{2} + t + D_z.
Usamos a condição inicial \mathbf{r}(0)=5\,\hat{\mathbf{i}}-10\,\hat{\mathbf{j}}+0\,\hat{\mathbf{k}} para determinar D_x,D_y,D_z:
  • Em t=0: r_x(0)=\frac{1}{3}\cdot 0^{3}+10\cdot 0 + D_x = D_x = 5. Logo D_x=5.
  • Em t=0: r_y(0)=3\cdot 0 + D_y = D_y = -10. Logo D_y=-10.
  • Em t=0: r_z(0)=-\frac{5}{2}\cdot 0^{2} + 0 + D_z = D_z = 0. Logo D_z=0.
Portanto a expressão geral da posição é
\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{3}t^{3}+10t+5\right)\,\hat{\mathbf{i}}+\bigl(3t-10\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}+\left(-\frac{5}{2}t^{2}+t\right)\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 5

Avaliação de \mathbf{r}(t) em t=10\\ \text{s} com cálculo detalhado das componentes.
Componente x em t=10:
r_x(10)=\frac{1}{3}\cdot 10^{3}+10\cdot 10 + 5 = \frac{1000}{3} + 100 + 5.
Somando 100+5=105. Escrevendo como fração comum:
r_x(10)=\frac{1000}{3} + \frac{315}{3} = \frac{1315}{3}.
(Como decimal isto é 438{,}333\ldots, mas é bom deixar em fração exata \dfrac{1315}{3}.)
Componente y em t=10:
r_y(10)=3\cdot 10 -10 = 30 -10 = 20.
Componente z em t=10:
r_z(10)=-\frac{5}{2}\cdot 10^{2} + 10 = -\frac{5}{2}\cdot 100 + 10 = -250 + 10 = -240.
Portanto
\mathbf{r}(10)=\frac{1315}{3}\,\hat{\mathbf{i}} + 20\,\hat{\mathbf{j}} -240\,\hat{\mathbf{k}}.

Resposta

(a) \mathbf{v}(5)=35\,\hat{\mathbf{i}}+3\,\hat{\mathbf{j}}-24\,\hat{\mathbf{k}}
(b) \mathbf{r}(10)=\dfrac{1315}{3}\,\hat{\mathbf{i}}+20\,\hat{\mathbf{j}}-240\,\hat{\mathbf{k}}

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