Uma bola é chutada, a partir do solo, obliquamente sob ângulo de 45^{\circ} \mathrm{com} a horizontal e com velocidade inicial de módulo 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, em direção a um muro vertical distante 40 m do ponto de lançamento. Adotando \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} de desprezando a resistência do ar, determine:
a) (1,75) o tempo que a bola levará para atingir o muro;
b) (1,75) a altura, em relação ao solo, do ponto de impacto da bola no muro.

Passo 1

O enunciado trata do lançamento oblíquo de uma bola a partir do solo com velocidade inicial de módulo 30\\ \mathrm{m/s} e ângulo de 45^\circ em relação à horizontal. Desprezando resistência do ar e tomando g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, vamos usar as equações paramétricas do movimento uniformemente variado para projetil:
– na direção horizontal, x(t)=v_{0x}\,t (movimento uniforme);
– na direção vertical, y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac12\,g\,t^2 (movimento uniformemente variado).
Precisamos determinar:
a) o tempo t para que x(t)=40\\ \mathrm{m};
b) a altura y(t) nesse instante.

Passo 2

Primeiro, decompomos a velocidade inicial:
v_{0x}=v_{0}\cos45^\circ=\frac{30}{\sqrt2},\quad v_{0y}=v_{0}\sin45^\circ=\frac{30}{\sqrt2}.
Para achar o tempo de chegada ao muro a 40\\ \mathrm{m}, usamos
x(t)=v_{0x}\,t=\frac{30}{\sqrt2}\,t=40.
Logo,
t=\frac{40\,\sqrt2}{30}=\frac{4\sqrt2}{3}\approx1{,}89\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Agora, calculamos a altura no instante t=\tfrac{4\sqrt2}{3}. A equação vertical é
y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac12\,g\,t^2 =\frac{30}{\sqrt2}\,t-\frac{9{,}8}{2}\,t^2.
Substituindo t=\tfrac{4\sqrt2}{3}:
o primeiro termo fica
\frac{30}{\sqrt2}\cdot\frac{4\sqrt2}{3} =\frac{30\cdot4}{3}=40,
e o segundo termo é
\frac{9{,}8}{2}\Bigl(\frac{4\sqrt2}{3}\Bigr)^{\!2} =4{,}9\cdot\frac{16\cdot2}{9} =\frac{156{,}8}{9}\approx17{,}42.
Portanto,
y=40-17{,}42\approx22{,}58\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) t\approx1{,}89\\ \mathrm{s}
b) y\approx22{,}6\\ \mathrm{m}

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