Um canhão dispara um projétil do alto de um edifício, na posição \vec{r}_{0}=(5 m) \hat{\imath}+(9 m) \hat{\jmath}+(6 m) \hat{k}, com velocidade inicial \vec{v}_{0}=(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\imath}+(29,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\jmath}+(3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{k}, em que o eixo dos y aponta na direção vertical, para cima, e tem origem no chão. Desprezando-se os efeitos do ar e adotando-se |\vec{g}|=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
a) (3,0) a altura máxima atingida pelo projétil em relação ao solo;
b) (1,5) a distância horizontal percorrida pelo projétil ao atingir a altura máxima.

Passo 1

O projétil parte da altura inicial y_{0}=9\\ \mathrm{m} com velocidade vertical v_{0y}=29{,}4\\ \mathrm{m/s} e velocidade horizontal \vec v_{0h}=(10\,\mathrm{m/s})\,\hat\imath+(3\,\mathrm{m/s})\,\hat k. O objetivo é (a) achar a altura máxima y_{\rm max} em relação ao solo e (b) calcular a distância horizontal percorrida até esse instante. Vamos tratar o movimento em duas componentes: vertical (com aceleração -g) e horizontal (sem aceleração).

Passo 2

O instante de altura máxima ocorre quando a velocidade vertical zera, ou seja,
0 = v_{0y} - g\,t_{\max}
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t_{\max} = \frac{v_{0y}}{g} = \frac{29{,}4}{9{,}8} = 3{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 3

A altura máxima y_{\rm max} é dada por
y_{\rm max} = y_{0} + v_{0y}\,t_{\max} - \tfrac12\,g\,t_{\max}^{2} = 9 + 29{,}4\cdot 3{,}0 - \tfrac12\cdot 9{,}8\cdot (3{,}0)^{2} = 53{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Como não há aceleração horizontal, as componentes do deslocamento são
\Delta x = v_{0x}\,t_{\max} = 10\cdot 3{,}0 = 30\\ \mathrm{m}, \quad \Delta z = v_{0z}\,t_{\max} = 3\cdot 3{,}0 = 9\\ \mathrm{m}.
A distância percorrida no plano horizontal vale
d_{\rm horiz} = \sqrt{\Delta x^{2} + \Delta z^{2}} = \sqrt{30^{2} + 9^{2}} \approx 31{,}3\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) 53{,}1\\ \mathrm{m}
(b) 31{,}3\\ \mathrm{m}

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