Calcule, por integração tripla, o volume do sólido do primeiro octante, definido pelos planos
e
.
17. Calcule, por integração tripla, o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
.
17. Calcule, por integração tripla, o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico
Passo 1
O primeiro sólido está no primeiro octante, limitado por
,
,
,
e
. Para achar o volume vamos usar integração tripla em coordenadas cartesianas e observar que a região em
não depende de
.
Passo 2
A projeção no plano
é o triângulo dado por
,
e
. Da interseção de
com
obtemos
. Assim
e como
varia de 0 a 2, o volume é
Primeiro integramos em
:
Depois em
:
Finalmente em
:
Passo 3
O segundo sólido é dado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
. A região em
vem de
, e
varia até onde
, ou seja
.
Passo 4
O volume é
Integrando em
vem
, então
Em
:
Como o integrando é par, fazemos
Resposta
O volume do primeiro sólido é
e o volume do segundo sólido é
.