Calcule, por integração tripla, o volume do sólido do primeiro octante, definido pelos planos x=0, z= 0, x=2, y=z e y+z=4.
17. Calcule, por integração tripla, o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico x=y^{2} e pelos planos z=0 e x+z=1.

Passo 1

O primeiro sólido está no primeiro octante, limitado por x=0, z=0, x=2, y=z e y+z=4. Para achar o volume vamos usar integração tripla em coordenadas cartesianas e observar que a região em yz não depende de x.

Passo 2

A projeção no plano yz é o triângulo dado por z\ge0, y\ge z e y+z\le4. Da interseção de y=z com y+z=4 obtemos z=2. Assim
0\le z\le2,\quad z\le y\le4-z,
e como x varia de 0 a 2, o volume é
V_1=\int_{x=0}^{2}\!\int_{z=0}^{2}\!\int_{y=z}^{4-z}dy\,dz\,dx.
Primeiro integramos em y:
\int_{y=z}^{4-z}dy=(4-z)-z=4-2z.
Depois em z:
\int_{0}^{2}(4-2z)dz=\Bigl[4z-z^2\Bigr]_{0}^{2}=8-4=4.
Finalmente em x:
V_1=\int_{0}^{2}4\,dx=8.

Passo 3

O segundo sólido é dado pelo cilindro parabólico x=y^2 e pelos planos z=0 e x+z=1. A região em xy vem de y^2\le x\le1, e y varia até onde y^2\le1, ou seja -1\le y\le1.

Passo 4

O volume é
V_2=\int_{y=-1}^{1}\!\int_{x=y^2}^{1}\!\int_{z=0}^{1-x}dz\,dx\,dy.
Integrando em z vem 1-x, então
V_2=\int_{-1}^{1}\!\int_{y^2}^{1}(1-x)\,dx\,dy.
Em x:
\int_{y^2}^{1}(1-x)\,dx=\Bigl[x-\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{y^2}^{1} =\Bigl(1-\tfrac12\Bigr)-\Bigl(y^2-\tfrac{y^4}{2}\Bigr) =\tfrac12 -y^2+\tfrac{y^4}{2}.
Como o integrando é par, fazemos
V_2=2\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac12 -y^2+\tfrac{y^4}{2}\Bigr)dy =2\Bigl[\tfrac{y}{2}-\tfrac{y^3}{3}+\tfrac{y^5}{10}\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(\tfrac12-\tfrac13+\tfrac1{10}\Bigr) =2\cdot\tfrac{4}{15} =\tfrac{8}{15}.

Resposta

O volume do primeiro sólido é 8 e o volume do segundo sólido é \tfrac{8}{15}.

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