A posição \vec{r} de uma partícula que se move em um plano xy é dada por \vec{r}=\left(4 t^{2}-10 . t\right) \hat{\imath}+\left(t^{3}-16 . t\right) \hat{\jmath}, com \vec{r} em metros e t em segundos. Determine:
a) (2,5) a velocidade \vec{v} da partícula na notaçāo de vetores unitários e na notação módulo - ângulo no instante \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.
b) (2,0) a aceleração \vec{a} da partícula na notação de vetores unitários e o módulo no instante t=1 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula no plano
\vec{r}(t) = \bigl(4\,t^2 - 10\,t\bigr)\,\hat{\imath} \;+\;\bigl(t^3 - 16\,t\bigr)\,\hat{\jmath}
e pede em (a) a velocidade no instante t=2 em notação unitária e em módulo-ângulo, e em (b) a aceleração no instante t=1 em notação unitária e seu módulo.

Passo 2

Velocidade é a derivada de \vec{r}(t) e aceleração é a derivada de \vec{v}(t):
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = \bigl(8\,t - 10\bigr)\,\hat{\imath} \;+\;\bigl(3\,t^2 -16\bigr)\,\hat{\jmath}
\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 8\,\hat{\imath} \;+\;6\,t\,\hat{\jmath}

Passo 3

No instante t=2,
\vec{v}(2) = \bigl(8\cdot2 - 10\bigr)\,\hat{\imath} \;+\;\bigl(3\cdot2^2 -16\bigr)\,\hat{\jmath} = 6\,\hat{\imath} - 4\,\hat{\jmath}
em \text{m/s}.
O módulo é
\lvert\vec{v}(2)\rvert = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7,21
em \text{m/s}.
O ângulo que \vec{v}(2) faz com o eixo x positivo satisfaz
\theta = \arctan\!\Bigl(\tfrac{-4}{6}\Bigr) \approx -33,69^\circ.

Passo 4

No instante t=1,
\vec{a}(1) = 8\,\hat{\imath} + 6\cdot1\,\hat{\jmath} = 8\,\hat{\imath} + 6\,\hat{\jmath}
em \text{m/s}^2.
O módulo é
\lvert\vec{a}(1)\rvert = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10
em \text{m/s}^2.

Resposta

a) \vec{v}(2) = 6\,\hat{\imath} - 4\,\hat{\jmath}; módulo 2\sqrt{13}\approx7,21 m/s; ângulo -33,69^\circ.
b) \vec{a}(1) = 8\,\hat{\imath} + 6\,\hat{\jmath}; módulo 10 m/s ^2.

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