Uma bola e chutada do topo de uma colina de 200 m de altura, acima de um vale. Sua velocidade inicial é de 60 m / s, fazendo um angulo de 60^circ acima da horizontal (Ignore a resitencia do ar e o grito de RECEBA I na hora do chute).
(a) Quanto tempo demora a bola em cair no vale ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola que é chutada do topo de uma colina que tem 200 metros de altura. A bola sai com uma velocidade inicial de 60 , m/s fazendo um ângulo de 60^circ acima da horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo a bola leva para cair no vale abaixo da colina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e as equações de movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, precisamos separar a velocidade inicial da bola em suas componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque o movimento horizontal e o vertical são independentes um do outro. A componente horizontal ( vx) e a componente vertical ( vy) da velocidade inicial podem ser encontradas usando funções trigonométricas:
vx = v0 cdot cos(theta)
vy = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 = 60 , m/s é a velocidade inicial
  • theta = 60^circ é o ângulo de lançamento

Passo 3

Vamos calcular essas componentes:
vx = 60 cdot cos(60^circ) = 60 cdot 0,5 = 30 , m/s
vy = 60 cdot sin(60^circ) = 60 cdot raiz32 approx 60 cdot 0,866 = 51,96 , m/s
Então, a velocidade horizontal é 30 , m/s e a velocidade vertical inicial é aproximadamente 51,96 , m/s.

Passo 4

Agora, vamos focar no movimento vertical para encontrar o tempo total de voo até a bola atingir o vale. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando a aceleração da gravidade ( g = 9,8 , m/s^2) e a distância vertical total que a bola vai percorrer.
A equação que vamos usar é:
y = vy cdot t - 12 g t^2 + h
Onde:
  • y é a posição final vertical (no vale, y = 0)
  • vy é a velocidade vertical inicial ( 51,96 , m/s)
  • h = 200 , m é a altura da colina
  • t é o tempo que queremos encontrar
Como a posição final é no vale, temos:
0 = 200 + 51,96 cdot t - 12 cdot 9,8 cdot t^2

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação quadrática:
12 cdot 9,8 cdot t^2 - 51,96 cdot t - 200 = 0
4,9 t^2 - 51,96 t - 200 = 0
Agora, temos uma equação quadrática da forma a t^2 + b t + c = 0, onde:
  • a = 4,9
  • b = -51,96
  • c = -200

Passo 6

Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
t = -(-51,96) pm raiz(-51,96)^2 - 4 cdot 4,9 cdot (-200)2 cdot 4,9
t = 51,96 pm raiz2700,16 + 39209,8
t = 51,96 pm raiz6620,169,8
t = 51,96 pm 81,359,8

Passo 7

Obtemos duas soluções para t:
t1 = 51,96 + 81,359,8 approx 133,319,8 approx 13,6 , s
t2 = 51,96 - 81,359,8 approx -29,399,8 approx -3,0 , s
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos t2.

Resposta

A bola demora aproximadamente 13,6 segundos para cair no vale.

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