Uma bola e chutada do topo de uma colina de 200 m de altura, acima de um vale. Sua velocidade inicial é de
, fazendo um angulo de
acima da horizontal (Ignore a resitencia do ar e o grito de RECEBA I na hora do chute).
(a) Quanto tempo demora a bola em cair no vale ?
(a) Quanto tempo demora a bola em cair no vale ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola que é chutada do topo de uma colina que tem 200 metros de altura. A bola sai com uma velocidade inicial de
fazendo um ângulo de
acima da horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo a bola leva para cair no vale abaixo da colina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado e as equações de movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, precisamos separar a velocidade inicial da bola em suas componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque o movimento horizontal e o vertical são independentes um do outro. A componente horizontal (
) e a componente vertical (
) da velocidade inicial podem ser encontradas usando funções trigonométricas:
Onde:
-
é a velocidade inicial -
é o ângulo de lançamento
Passo 3
Vamos calcular essas componentes:
Então, a velocidade horizontal é
e a velocidade vertical inicial é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos focar no movimento vertical para encontrar o tempo total de voo até a bola atingir o vale. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando a aceleração da gravidade (
) e a distância vertical total que a bola vai percorrer.
A equação que vamos usar é:
Onde:
-
é a posição final vertical (no vale, ) -
é a velocidade vertical inicial ( ) -
é a altura da colina -
é o tempo que queremos encontrar
Como a posição final é no vale, temos:
Passo 5
Vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação quadrática:
Agora, temos uma equação quadrática da forma
, onde:
Passo 6
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 7
Obtemos duas soluções para
:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
.
Resposta
A bola demora aproximadamente
segundos para cair no vale.