Para ilustrar o uso de um foguete com múltiplos estágios, considere o seguinte: (a) Um certo foguete transporta
de sua massa inicial como sendo combustível (ou seja, a massa do combustível é
). Qual é a velocidade final do foguete acelerando a partir do repouso no espaço livre, se ele consome todo o seu combustível em um único estágio? Expresse sua resposta como um múltiplo de
. (b) Suponha, em vez disso, que ele consuma o combustível em dois estágios, conforme segue: No primeiro estágio, ele consome uma massa de
de combustível. Ele, então, descarta o tanque de combustível do primeiro estágio, que tem uma massa de
, em seguida consome os
de combustível restante. Determine a velocidade final nesse caso, assumindo o mesmo valor de
durante todo o tempo, e compare.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata do uso de foguetes com múltiplos estágios, focando na velocidade final alcançada quando o foguete consome seu combustível de diferentes maneiras. A matéria principal aqui é a equação do foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a velocidade do foguete com a massa inicial, a massa final e a velocidade de exaustão dos gases. Vamos precisar entender essa equação para resolver tanto a parte (a) quanto a parte (b) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde o foguete consome todo o seu combustível de uma vez só, ou seja, em um único estágio.
Passo 3
A equação de Tsiolkovsky é dada por:
Onde:
-
é a mudança na velocidade (velocidade final, já que parte do repouso). -
é a velocidade de exaustão dos gases. -
é a massa inicial do foguete (incluindo combustível). -
é a massa final do foguete (após todo o combustível ser consumido).
Passo 4
No exercício, sabemos que 60% da massa inicial é combustível. Então:
A massa final, após consumir todo o combustível, será:
Passo 5
Agora, substituímos na equação de Tsiolkovsky:
Portanto, a velocidade final é
vezes a velocidade de exaustão
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), onde o lança-objetos consome o combustível em dois estágios.
Primeiro, consome 0,3 mₒ de combustível, depois descarta o tanque do primeiro estágio que tem 0,1 mₒ, e finalmente consome os 0,3 mₒ restantes de combustível.
Passo 7
Vamos calcular a velocidade final em cada estágio e depois somar as contribuições de cada um.
Primeiro estágio:
- Massa inicial:
- Combustível consumido:
- Massa final após consumo:
Segunda etapa:
- É necessário descartar o tanque do primeiro estágio, que pesa
. - Massa após descartar o tanque:
Segundo estágio:
- Massa inicial:
- Combustível consumido:
- Massa final após consumo:
Passo 8
Agora, aplicamos a equação de Tsiolkovsky para cada estágio e somamos as velocidades:
Primeiro estágio:
Segundo estágio:
Passo 9
Somando as contribuições de cada estágio:
Usando propriedades dos logaritmos:
Portanto:
Resposta
A velocidade final do foguete é
no caso de um único estágio, e
quando dividido em dois estágios. Assim, o foguete atinge uma velocidade maior ao utilizar dois estágios.