Para ilustrar o uso de um foguete com múltiplos estágios, considere o seguinte: (a) Um certo foguete transporta 60 % de sua massa inicial como sendo combustível (ou seja, a massa do combustível é 0,6 mo ). Qual é a velocidade final do foguete acelerando a partir do repouso no espaço livre, se ele consome todo o seu combustível em um único estágio? Expresse sua resposta como um múltiplo de vex. (b) Suponha, em vez disso, que ele consuma o combustível em dois estágios, conforme segue: No primeiro estágio, ele consome uma massa de 0,3 mo de combustível. Ele, então, descarta o tanque de combustível do primeiro estágio, que tem uma massa de 0,1 mo e, em seguida consome os 0,3 mo de combustível restante. Determine a velocidade final nesse caso, assumindo o mesmo valor de vex durante todo o tempo, e compare.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata do uso de foguetes com múltiplos estágios, focando na velocidade final alcançada quando o foguete consome seu combustível de diferentes maneiras. A matéria principal aqui é a equação do foguete de Tsiolkovsky, que relaciona a velocidade do foguete com a massa inicial, a massa final e a velocidade de exaustão dos gases. Vamos precisar entender essa equação para resolver tanto a parte (a) quanto a parte (b) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a), onde o foguete consome todo o seu combustível de uma vez só, ou seja, em um único estágio.

Passo 3

A equação de Tsiolkovsky é dada por:
De
Onde:
  • De é a mudança na velocidade (velocidade final, já que parte do repouso).
  • vex é a velocidade de exaustão dos gases.
  • mo é a massa inicial do foguete (incluindo combustível).
  • mf é a massa final do foguete (após todo o combustível ser consumido).

Passo 4

No exercício, sabemos que 60% da massa inicial é combustível. Então:
mcomb = 0,6 , mo
A massa final, após consumir todo o combustível, será:
mf = mo - mcomb = mo - 0,6 , mo = 0,4 , mo

Passo 5

Agora, substituímos na equação de Tsiolkovsky:
De
Portanto, a velocidade final é ln(2,5) vezes a velocidade de exaustão vex.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde o lança-objetos consome o combustível em dois estágios.
Primeiro, consome 0,3 mₒ de combustível, depois descarta o tanque do primeiro estágio que tem 0,1 mₒ, e finalmente consome os 0,3 mₒ restantes de combustível.

Passo 7

Vamos calcular a velocidade final em cada estágio e depois somar as contribuições de cada um.
Primeiro estágio:
  • Massa inicial: mo
  • Combustível consumido: 0,3 , mo
  • Massa final após consumo: mo - 0,3 , mo = 0,7 , mo
Segunda etapa:
  • É necessário descartar o tanque do primeiro estágio, que pesa 0,1 , mo.
  • Massa após descartar o tanque: 0,7 , mo - 0,1 , mo = 0,6 , mo
Segundo estágio:
  • Massa inicial: 0,6 , mo
  • Combustível consumido: 0,3 , mo
  • Massa final após consumo: 0,6 , mo - 0,3 , mo = 0,3 , mo

Passo 8

Agora, aplicamos a equação de Tsiolkovsky para cada estágio e somamos as velocidades:
Primeiro estágio:
De
Segundo estágio:
De

Passo 9

Somando as contribuições de cada estágio:
De
Usando propriedades dos logaritmos:
ln(1,4286) + ln(2) = ln(1,4286 times 2) = ln(2,8572)
Portanto:
De

Resposta

A velocidade final do foguete é ln(2,5) approx 0,916 , vex no caso de um único estágio, e ln(2,8572) approx 1,05 , vex quando dividido em dois estágios. Assim, o foguete atinge uma velocidade maior ao utilizar dois estágios.

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