O momento de inércia de uma roda não uniforme de massa
e raio
vem dado por
, onde
deve ser determinado. A roda rola (sem deslizar) por um plano inclinado, que forma ângulo
com a horizontal, de tal forma que a aceleração da roda é igual a
. Determine a força de atrito estático entre a roda e o plano inclinado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma roda que não é uniforme, com massa
e raio
. O momento de inércia dessa roda é dado por
, e a gente precisa descobrir o valor de
. A roda está rolando sem deslizar por um plano inclinado que faz um ângulo
com a horizontal. A aceleração da roda é
. Nosso objetivo é encontrar a força de atrito estático entre a roda e o plano inclinado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica, como as leis de Newton para translação e rotação, além do momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando na roda. No plano inclinado, temos:
-
Peso (
): que pode ser decomposto nas componentes paralela e perpendicular ao plano. - Componente paralela:
- Componente perpendicular:
- Componente paralela:
-
Força Normal (
): que atua perpendicularmente ao plano inclinado e equilibra . - Então,
- Então,
-
Força de Atrito Estático (
): que impede o deslizamento da roda e está atuando na direção oposta ao movimento.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a translação da roda na direção paralela ao plano inclinado:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos considerar a rotação da roda. A segunda lei de Newton para rotação diz que o torque (
) é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular (
):
Sabemos que, como a roda está rolando sem deslizar, a aceleração linear
está relacionada com a aceleração angular
pela relação:
Passo 5
O torque é gerado pela força de atrito
, que age na borda da roda com raio
. Então:
Substituindo na equação do torque:
Portanto:
Passo 6
Agora, podemos substituir a expressão de
que encontramos na equação da translação:
Vamos isolar
:
Passo 7
Segundo o enunciado, sabemos que a aceleração
é:
Então, igualando as duas expressões para
:
Podemos simplificar cancelando
de ambos os lados:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora que encontramos
, podemos usar a expressão de
que tínhamos:
Resposta
A força de atrito estático entre a roda e o plano inclinado é
.