O momento de inércia de uma roda não uniforme de massa M e raio R vem dado por I=beta M R^2, onde beta deve ser determinado. A roda rola (sem deslizar) por um plano inclinado, que forma ângulo theta com a horizontal, de tal forma que a aceleração da roda é igual a a=g sen theta / 2. Determine a força de atrito estático entre a roda e o plano inclinado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma roda que não é uniforme, com massa M e raio R. O momento de inércia dessa roda é dado por I = beta M R^2, e a gente precisa descobrir o valor de beta. A roda está rolando sem deslizar por um plano inclinado que faz um ângulo theta com a horizontal. A aceleração da roda é a = g sin theta2. Nosso objetivo é encontrar a força de atrito estático entre a roda e o plano inclinado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica, como as leis de Newton para translação e rotação, além do momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na roda. No plano inclinado, temos:
  1. Peso ( P): que pode ser decomposto nas componentes paralela e perpendicular ao plano.
    • Componente paralela: Pparal<=l = M g sin theta
    • Componente perpendicular: Pperp = M g cos theta
  2. Força Normal ( N): que atua perpendicularmente ao plano inclinado e equilibra Pperp.
    • Então, N = Pperp = M g cos theta
  3. Força de Atrito Estático ( f): que impede o deslizamento da roda e está atuando na direção oposta ao movimento.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a translação da roda na direção paralela ao plano inclinado:
M a = Pparal<=l - f
Substituindo Pparal<=l:
M a = M g sin theta - f

Passo 4

Agora, vamos considerar a rotação da roda. A segunda lei de Newton para rotação diz que o torque ( tau) é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular ( alpha):
tau = I alpha
Sabemos que, como a roda está rolando sem deslizar, a aceleração linear a está relacionada com a aceleração angular alpha pela relação:
a = R alpha Rightarrow alpha = aR

Passo 5

O torque é gerado pela força de atrito f, que age na borda da roda com raio R. Então:
tau = f R
Substituindo na equação do torque:
f R = I alpha = beta M R^2 ( aR ) = beta M R a
Portanto:
f = beta M a

Passo 6

Agora, podemos substituir a expressão de f que encontramos na equação da translação:
M a = M g sin theta - beta M a
Vamos isolar a:
M a + beta M a = M g sin theta a (1 + beta) = g sin theta a = g sin theta1 + beta

Passo 7

Segundo o enunciado, sabemos que a aceleração a é:
a = g sin theta2
Então, igualando as duas expressões para a:
g sin theta1 + beta = g sin theta2
Podemos simplificar cancelando g sin theta de ambos os lados:
11 + beta = 12

Passo 8

Resolvendo para beta:
1 + beta = 2 beta = 2 - 1 beta = 1

Passo 9

Agora que encontramos beta = 1, podemos usar a expressão de f que tínhamos:
f = beta M a = 1 cdot M cdot g sin theta2 f = M g sin theta2

Resposta

A força de atrito estático entre a roda e o plano inclinado é f = dfracM g sin theta2.

Exercícios relacionados