Uma frente fria aproxima-se de Itumbiara. A temperatura é T graus após, t horas, a meia noite e T=0,1\left(400-40 t+t^{2}\right) \quad 0 \leq t \leq 12. Ache a taxa de variação de T em relação a t às 4 horas.

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura após t horas desde a meia-noite pela fórmula
T = 0,1\bigl(400 - 40t + t^{2}\bigr),\quad 0 \le t \le 12,
e pede a taxa de variação \frac{dT}{dt} em t=4. O conteúdo aqui é derivada de função polinomial e aplicação da regra da multiplicação por constante.

Passo 2

Vamos calcular a derivada em geral. Primeiro derivamos o polinômio interno:
\frac{d}{dt}\bigl(400 - 40t + t^{2}\bigr) = -40 + 2t.
Como há o fator constante 0,1, pela regra da cadeia ou da constante:
\frac{dT}{dt} = 0,1\cdot(-40 + 2t) = -4 + 0,2\,t.

Passo 3

Agora avaliamos em t=4:
\frac{dT}{dt}\Bigl|_{t=4} = -4 + 0,2\cdot 4 = -4 + 0,8 = -3,2.

Passo 4

Como \frac{dT}{dt}(4) = -3,2, isso significa que, às 4 horas, a temperatura está caindo a 3,2 graus por hora.

Resposta

-3,2 graus por hora.

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