Uma bola deve ser lançada do chão em direção a um aro distante de 4,5 m, situado a 2,5 m de altura. A bola deve ser lançada a 60^circ de inclinação com a horizontal. Calcule a velocidade inicial que deve ser fornecida à bola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma bola que precisa ser lançada do chão com um ângulo de 60^circ em relação à horizontal, e ela precisa chegar a um aro que está a 4,5 m de distância e a 2,5 m de altura. A matéria que vamos usar aqui é o movimento de projéteis, que estuda como objetos se movem no ar sob a influência da gravidade. Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento horizontal e vertical, e também ter em mente que a aceleração da gravidade é g = 9,8 m/s^2.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da bola em duas partes: horizontal e vertical. Se a velocidade inicial é v0 e o ângulo de lançamento é 60^circ, então:
v0x = v0 cos(60^circ)
v0y = v0 sin(60^circ)
Aqui, v0x é a componente horizontal da velocidade, e v0y é a componente vertical.

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento horizontal. Como não há aceleração horizontal (desconsiderando resistência do ar), a distância horizontal percorrida pela bola é dada por:
x = v0x cdot t
Onde x = 4,5 m é a distância até o aro e t é o tempo de voo.

Passo 4

Em seguida, vamos olhar para o movimento vertical. A posição vertical da bola ao longo do tempo é:
y = v0y cdot t - 12 g t^2
Aqui, y = 2,5 m é a altura do aro.

Passo 5

Agora, temos duas equações com duas incógnitas: v0 e t. Vamos resolver esse sistema para encontrar v0. Primeiro, da equação horizontal:
t = xv0x = 4,5v0 cos(60^circ)
Substituindo v0x:
t = 4,5v0 cdot 0,5 = 4,50,5 v0 = 9v0

Passo 6

Agora, substituímos esse valor de t na equação vertical:
2,5 = v0 sin(60^circ) cdot 9v0 - 12 cdot 9,8 cdot (9v0)^2
Simplificando:
2,5 = 9 sin(60^circ) - 12 cdot 9,8 cdot 81v0^2

Passo 7

Calculando sin(60^circ) approx 0,8660:
2,5 = 9 cdot 0,8660 - 12 cdot 9,8 cdot 81v0^2
2,5 = 7,794 - 396,9v0^2

Passo 8

Isolando o termo com v0^2:
396,9v0^2 = 7,794 - 2,5
396,9v0^2 = 5,294

Passo 9

Resolvendo para v0^2:
v0^2 = 396,95,294 approx 75

Passo 10

Finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar v0:
v0 = raiz75 approx 8,66 m/s

Resposta

A velocidade inicial necessária para a bola alcançar o aro é aproximadamente 8,66 m/s.

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