Uma bola deve ser lançada do chão em direção a um aro distante de 4,5 m, situado a 2,5 m de altura. A bola deve ser lançada a 60^circ de inclinação com a horizontal. Calcule o instante em que a bola atinge o aro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bola que é lançada do chão em direção a um aro que está a 4,5 metros de distância horizontal e 2,5 metros de altura. O ângulo de lançamento da bola é de 60 graus em relação à horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir em que instante a bola atinge o aro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis, que envolvem física básica de lançamento oblíquo e análise das componentes horizontal e vertical do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o movimento da bola nas suas componentes horizontal (x) e vertical (y). Sabemos que o movimento horizontal é uniforme, ou seja, sem aceleração, enquanto o movimento vertical é uniformemente acelerado devido à gravidade.
A velocidade inicial da bola pode ser decomposta assim:
  • Componente horizontal: $ v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\theta) $
  • Componente vertical: $ v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\theta) $
Onde:
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial
  • $ \theta $ é o ângulo de lançamento (60°)

Passo 3

Vamos escrever as equações do movimento para as direções x e y.
Na direção horizontal:
A distância percorrida na horizontal é dada por:
x = v0x cdot t
Substituindo $ v_{0x} $:
v0x
Como $ \cos(60°) = 0,5 $:
4,5 = v0 cdot cos(60°) cdot t
cos(60°) = 0,5
4,5 = 0,5 cdot v0 cdot t
Na direção vertical:
A altura atingida na vertical é dada por:
v0 = 4,50,5 cdot t
Substituindo $ v_{0y} $:
v0 = 9t
Sabemos que $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,8660 $, então:
y = v0y cdot t - 12 g t^2

Passo 4

Agora, vamos substituir $ v_0 $ da equação horizontal na equação vertical:
v0
Simplificando:
2,5 = ( 9t ) cdot 0,8660 cdot t - 4,9 cdot t^2
2,5 = 9 cdot 0,8660 - 4,9 cdot t^2

Passo 5

Vamos isolar $ t^2 $:
t^2
4,9 cdot t^2 = 7,794 - 2,5
4,9 cdot t^2 = 5,294
t^2 = 5,2944,9

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ t $:
t
t = raiz1,0813

Resposta

O instante em que a bola atinge o aro é aproximadamente 1,04 segundos.

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