Um disco com 10 cm de raio está em repouso e começa a rotacionar em torno de um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do disco. A aceleração angular fornecida ao disco é alpha=-5 t(t-10), em rad / s^2 e t in[0 s ; 10 s]. Calcule a velocidade angular.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de 10 cm de raio que está parado e começa a girar em torno do seu centro. A aceleração angular que está sendo aplicada ao disco é dada pela fórmula alpha(t) = -5t(t-10) em rad/s², onde t varia de 0 a 10 segundos. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade angular do disco nesse intervalo de tempo.

Passo 2

Para encontrar a velocidade angular omega(t), precisamos integrar a aceleração angular alpha(t) em relação ao tempo t. A integração da aceleração nos dá a velocidade.
A equação da aceleração é:
alpha(t) = -5t(t - 10)
Vamos expandir essa expressão para facilitar a integração:
alpha(t) = -5t^2 + 50t

Passo 3

Agora, vamos integrar alpha(t) em relação a t para encontrar omega(t):
omega(t) = integral alpha(t) , dt = integral (-5t^2 + 50t) , dt
Integrando termo a termo:
omega(t) = -5 integral t^2 , dt + 50 integral t , dt
omega(t) = -5 ( t^33 ) + 50 ( t^22 ) + C
omega(t) = -53 t^3 + 25 t^2 + C

Passo 4

Agora, precisamos determinar a constante de integração C. Sabemos que no tempo inicial t = 0, o disco está em repouso, ou seja, omega(0) = 0.
Substituindo t = 0 na equação:
0 = -53 (0)^3 + 25 (0)^2 + C
0 = 0 + 0 + C
C = 0

Passo 5

Com a constante C = 0, a expressão para a velocidade angular fica:
omega(t) = -53 t^3 + 25 t^2

Resposta

A velocidade angular do disco em função do tempo é:
omega(t) = -53 t^3 + 25 t^2 rad/s

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