Um taco atinge uma bola de bilhar horizontalmente em um ponto a uma distância d acima do centro da bola. Determine o valor de d para o qual a bola rolará, sem deslizar, desde o início. Escreva sua resposta em termos do raio R da bola.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um taco que atinge uma bola de bilhar horizontalmente a uma distância $ d $ acima do centro da bola. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ d $ em termos do raio $ R $ da bola, de modo que a bola comece a rolar sem deslizar imediatamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento de rotação e translação, além de torque e condições de rolamento sem deslizamento.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que acontece quando o taco atinge a bola. Esse impacto gera duas coisas: um movimento linear (a bola se movendo para frente) e um movimento de rotação (a bola girando). A distância $ d $ em que o taco atinge a bola vai influenciar quanto torque é aplicado, ou seja, quanto a bola vai girar.

Passo 3

O torque ($ \tau $) causado pelo taco é dado pela fórmula:
tau
onde $ F $ é a força aplicada pelo taco e $ d $ é a distância do ponto de aplicação da força ao centro da bola. Esse torque gera uma aceleração angular ($ \alpha $) na bola, que podemos calcular usando:
tau = F cdot d
Aqui, $ I $ é o momento de inércia da bola. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
F
onde $ M $ é a massa da bola e $ R $ é o raio.

Passo 4

Simultaneamente, a força $ F $ aplicada causa uma aceleração linear ($ a $) na bola:
F
Então, temos duas acelerações: uma linear ($ a a \alpha $).

Passo 5

Para que a bola role sem deslizar, a aceleração linear e a aceleração angular devem satisfazer a condição:
a = R cdot alpha
Isso garante que a velocidade linear na borda da bola coincide com a velocidade de rotação, evitando o deslizamento.

Passo 6

Substituindo $ \alpha $ na condição de rolamento sem deslizar:
alpha

Passo 7

Igualamos a aceleração linear com a expressão obtida:
FM = 5 F d2 M R
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por $ M $ e dividindo por $ F $ (desde que $ F \neq 0 $):
M

Passo 8

Resolvendo para $ d $:
d

Resposta

Portanto, a distância $ d $ deve ser igual a $ \frac{2}{5} R $ para que a bola role sem deslizar desde o início.

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