Um taco atinge uma bola de bilhar horizontalmente em um ponto a uma distância d acima do centro da bola. Determine o valor de d para o qual a bola rolará, sem deslizar, desde o início. Escreva sua resposta em termos do raio R da bola.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um taco que atinge uma bola de bilhar horizontalmente a uma distância $ d $ acima do centro da bola. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ d $ em termos do raio $ R $ da bola, de modo que a bola comece a rolar sem deslizar imediatamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre movimento de rotação e translação, além de torque e condições de rolamento sem deslizamento.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que acontece quando o taco atinge a bola. Esse impacto gera duas coisas: um movimento linear (a bola se movendo para frente) e um movimento de rotação (a bola girando). A distância $ d $ em que o taco atinge a bola vai influenciar quanto torque é aplicado, ou seja, quanto a bola vai girar.
Passo 3
O torque ($ \tau $) causado pelo taco é dado pela fórmula:
onde $ F $ é a força aplicada pelo taco e $ d $ é a distância do ponto de aplicação da força ao centro da bola. Esse torque gera uma aceleração angular ($ \alpha $) na bola, que podemos calcular usando:
Aqui, $ I $ é o momento de inércia da bola. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
onde $ M $ é a massa da bola e $ R $ é o raio.
Passo 4
Simultaneamente, a força $ F $ aplicada causa uma aceleração linear ($ a $) na bola:
Então, temos duas acelerações: uma linear ($ a
\alpha $).
Passo 5
Para que a bola role sem deslizar, a aceleração linear e a aceleração angular devem satisfazer a condição:
Isso garante que a velocidade linear na borda da bola coincide com a velocidade de rotação, evitando o deslizamento.
Passo 6
Substituindo $ \alpha $ na condição de rolamento sem deslizar:
Passo 7
Igualamos a aceleração linear com a expressão obtida:
Podemos simplificar multiplicando ambos os lados por $ M $ e dividindo por $ F $ (desde que $ F \neq 0 $):
Passo 8
Resolvendo para $ d $:
Resposta
Portanto, a distância $ d $ deve ser igual a $ \frac{2}{5} R $ para que a bola role sem deslizar desde o início.