Uma bola deve ser lançada do chão em direção a um aro distante de 4,5 m, situado a 2,5 m de altura. A bola deve ser lançada a 60^circ de inclinação com a horizontal. Calcule a velocidade da bola ao atingir o aro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma bola que precisa ser lançada do chão em direção a um aro que está a 4,5 metros de distância e a 2,5 metros de altura. O lançamento é feito com um ângulo de 60° em relação à horizontal. Nosso objetivo aqui é calcular qual a velocidade que a bola precisa ter para atingir esse aro. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física de movimento de projétil e algumas equações de cinemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a bola é lançada, ela tem uma velocidade inicial que podemos dividir em duas componentes: a horizontal ( v0x) e a vertical ( v0y). Essas componentes são dadas por:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde v0 é a velocidade inicial que queremos encontrar e theta é o ângulo de lançamento (60°).

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento horizontal. Sabemos que a distância horizontal ( x) até o aro é de 4,5 metros. O movimento horizontal é uniforme, ou seja, a velocidade horizontal é constante. A equação para o movimento horizontal é:
x = v0x cdot t
Onde t é o tempo que a bola leva para alcançar o aro.

Passo 4

Passando para o movimento vertical, sabemos que a bola atinge uma altura de 2,5 metros. O movimento vertical é influenciado pela gravidade. A equação para a posição vertical é:
y = v0y cdot t - 12 g t^2
Onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²).

Passo 5

Vamos substituir v0x e v0y pelas expressões em termos de v0 e theta:
4,5 = (v0 cdot cos(60°)) cdot t
2,5 = (v0 cdot sin(60°)) cdot t - 12 cdot 9,81 cdot t^2
Agora, temos duas equações com duas incógnitas: v0 e t.

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para t:
t = 4,5v0 cdot cos(60°)
Sabemos que cos(60°) = 0,5, então:
t = 4,5v0 cdot 0,5 = 4,50,5 v0 = 9v0

Passo 7

Agora, vamos substituir esse valor de t na segunda equação:
2,5 = (v0 cdot sin(60°)) cdot (9v0) - 12 cdot 9,81 cdot (9v0)^2
Sabemos que sin(60°) approx 0,8660, então:
2,5 = 0,8660 cdot 9 - 12 cdot 9,81 cdot 81v0^2
2,5 = 7,794 - 396,405v0^2

Passo 8

Vamos isolar 396,405v0^2:
396,405v0^2 = 7,794 - 2,5
396,405v0^2 = 5,294
Agora, resolvendo para v0^2:
v0^2 = 396,4055,294 approx 74,89

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar v0:
v0 = raiz74,89 approx 8,66 , m/s

Resposta

A velocidade inicial da bola deve ser aproximadamente 8,66 metros por segundo para atingir o aro.

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