Uma partícula desliza por uma pista com as extremidades elevadas e uma parte central plana. A partícula é largada do ponto A , que está a uma altura de 1,0 m acima da parte plana, cujo comprimento é L=2,0 m. Não há atrito nas partes curvas. (b) Onde a partícula para, se o coeficiente de atrito cinético na parte plana da pista for nove vezes menor? Considere a extremidade esquerda da parte central plana como origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula que desliza numa pista com extremidades elevadas e uma parte central plana. Ela é solta do ponto A, que está a 1,0 metro acima da parte plana, que tem 2,0 metros de comprimento. Não tem atrito nas partes curvas, mas na parte plana tem atrito cinético. A gente quer descobrir onde a partícula vai parar se o coeficiente de atrito cinético na parte plana for nove vezes menor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética e trabalho da força de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial que a partícula tem no ponto A. A energia potencial ( $ U $ ) é dada por:
U
onde:
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $),
  • $ h $ é a altura (1,0 m).
Essa energia vai se transformar em energia cinética ( $ K $ ) quando a partícula desce até a parte plana da pista.

Passo 3

Na ausência de atrito nas partes curvas, toda a energia potencial no ponto A se converte em energia cinética na parte plana. A energia cinética é dada por:
K = 12 m v² ²
Igualando as duas energias:
m cdot g cdot h = 12 m v² ²
Podemos simplificar $ m $ dos dois lados:
m ²
Resolvendo para $ v $:
g cdot h = 12 v²
Substituindo os valores:
v

Passo 4

Agora, na parte plana da pista, a partícula vai sofrer a ação da força de atrito cinético, que vai desacelerá-la até parar. A força de atrito ( $ F_{atrito} $ ) é:
Fatrito
onde:
  • $ \mu $ é o coeficiente de atrito cinético,
  • $ N $ é a força normal. Como a pista é horizontal, $ N = m \cdot g $.
Então:
Fatrito = mu cdot N
O trabalho realizado pela força de atrito é igual à variação da energia cinética da partícula:
mu
Como a partícula para, $ \Delta K = -\frac{1}{2} m v² $:
N ²
Simplificando $ m $:
N = m cdot g ²

Passo 5

Queremos encontrar a distância $ d $ que a partícula percorre na parte plana antes de parar. Rearranjando a equação:
d ²
Já calculamos $ v $ como aproximadamente 4,43 m/s. Agora, precisamos do valor de $ \mu $.
A questão diz que o coeficiente de atrito cinético na parte plana é nove vezes menor. Vamos chamar o coeficiente original de $ \mu_0 $. Então, o novo coeficiente é $ \mu = \frac{\mu_0}{9} $.

Passo 6

Substituindo $ \mu = \frac{\mu_0}{9} $ na fórmula da distância:
mu = mu09 ²²
Isso mostra que a distância $ d $ é nove vezes maior do que seria com o coeficiente de atrito original $ \mu_0 $.

Resposta

A partícula para a uma distância de nove vezes $ \frac{v²}{2 \mu_0 g} $ a partir da origem. Se considerar $ \mu_0 $ como o coeficiente de atrito original, a distância final é $ d = \frac{9 v²}{2 \mu_0 g} $.

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