Um disco com 10 cm de raio está em repouso e começa a rotacionar em torno de um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do disco. A aceleração angular fornecida ao disco é
, em rad
e
. Calcule o número de voltas do disco no instante em que a aceleração angular é máxima. Neste mesmo instante, calcule a velocidade e a aceleração normal de um ponto do disco situado na metade do raio do disco.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolvê-la. Temos um disco com raio de 10 cm que começa a girar a partir do repouso. A aceleração angular fornecida ao disco é dada por uma função do tempo:
rad/s², válida entre os instantes de 0 a 10 segundos. Precisamos calcular:
- O número de voltas que o disco dá no instante em que a aceleração angular é máxima.
- Nesse mesmo instante, calcular a velocidade linear e a aceleração normal de um ponto localizado na metade do raio do disco.
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, velocidade angular, deslocamento angular e relações entre velocidade linear e aceleração centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o instante em que a aceleração angular é máxima. A aceleração angular é dada pela função
. Para encontrar o ponto de máximo dessa função, podemos derivá-la em relação ao tempo e igualar a derivada a zero.
Calculando a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de
onde
é máxima:
Então, o instante de tempo em que a aceleração angular é máxima é
segundos.
Passo 3
Com o instante
segundos encontrado, vamos calcular o número de voltas que o disco realizou até esse momento. Para isso, precisamos primeiro determinar a velocidade angular
e o deslocamento angular
.
A velocidade angular é a integral da aceleração angular em relação ao tempo:
Sabemos que o disco parte do repouso, ou seja,
.
Vamos integrar
:
Como
, determinamos a constante
. Assim:
Agora, substituímos
segundos na expressão de
:
Agora, encontramos o deslocamento angular
integrando a velocidade angular:
Como
, temos:
Substituindo
segundos:
Agora, para encontrar o número de voltas, dividimos o deslocamento angular pelo ângulo de uma volta completa (
radianos):
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade linear e a aceleração normal de um ponto localizado na metade do raio do disco no instante
segundos.
Primeiro, o raio total do disco é de 10 cm, então a metade do raio é
cm ou
metros.
A velocidade linear
de um ponto em um disco em rotação é dada por:
Substituindo os valores:
Agora, a aceleração normal (ou centrípeta)
é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
No instante em que a aceleração angular é máxima (
segundos):
- O disco realizou aproximadamente 124,4 voltas.
- A velocidade linear do ponto na metade do raio é de 20,83 metros por segundo.
- A aceleração normal desse ponto é de 8680,6 metros por segundo ao quadrado.