Um disco com 10 cm de raio está em repouso e começa a rotacionar em torno de um eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao plano do disco. A aceleração angular fornecida ao disco é alpha=-5 t(t-10), em rad / s^2 e t in[0 s ; 10 s]. Calcule o número de voltas do disco no instante em que a aceleração angular é máxima. Neste mesmo instante, calcule a velocidade e a aceleração normal de um ponto do disco situado na metade do raio do disco.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolvê-la. Temos um disco com raio de 10 cm que começa a girar a partir do repouso. A aceleração angular fornecida ao disco é dada por uma função do tempo: alpha(t) = -5 t(t-10) rad/s², válida entre os instantes de 0 a 10 segundos. Precisamos calcular:
  1. O número de voltas que o disco dá no instante em que a aceleração angular é máxima.
  2. Nesse mesmo instante, calcular a velocidade linear e a aceleração normal de um ponto localizado na metade do raio do disco.
Para resolver esse exercício, vamos utilizar conceitos de cinemática rotacional, como aceleração angular, velocidade angular, deslocamento angular e relações entre velocidade linear e aceleração centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o instante em que a aceleração angular é máxima. A aceleração angular é dada pela função alpha(t) = -5 t(t-10). Para encontrar o ponto de máximo dessa função, podemos derivá-la em relação ao tempo e igualar a derivada a zero.
Calculando a derivada de alpha(t):
dalphadt = ddt[-5 t(t-10)] = -5 (2t - 10) = -10t + 50
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar o valor de t onde alpha(t) é máxima:
-10t + 50 = 0 -10t = -50 t = 5 , segundos
Então, o instante de tempo em que a aceleração angular é máxima é t = 5 segundos.

Passo 3

Com o instante t = 5 segundos encontrado, vamos calcular o número de voltas que o disco realizou até esse momento. Para isso, precisamos primeiro determinar a velocidade angular omega(t) e o deslocamento angular theta(t).
A velocidade angular é a integral da aceleração angular em relação ao tempo:
omega(t) = integral alpha(t) , dt + omega0
Sabemos que o disco parte do repouso, ou seja, omega0 = 0.
Vamos integrar alpha(t):
omega(t) = integral -5 t(t - 10) , dt = -5 integral (t^2 - 10t) , dt = -5 ( t^33 - 5t^2 ) + C
Como omega(0) = 0, determinamos a constante C = 0. Assim:
omega(t) = -5 ( t^33 - 5t^2 ) = -53 t^3 + 25 t^2
Agora, substituímos t = 5 segundos na expressão de omega(t):
omega(5) = -53 (5)^3 + 25 (5)^2 = -53 times 125 + 25 times 25 = -6253 + 625 = -625 + 18753 = 12503 , rad/s
Agora, encontramos o deslocamento angular theta(t) integrando a velocidade angular:
theta(t) = integral omega(t) , dt + theta0
Como theta(0) = 0, temos:
theta(t) = integral ( -53 t^3 + 25 t^2 ) , dt = -53 times t^44 + 25 times t^33 + C = -512 t^4 + 253 t^3
Substituindo t = 5 segundos:
theta(5) = -512 (5)^4 + 253 (5)^3 = -512 times 625 + 253 times 125 = -312512 + 31253 = -312512 + 1250012 = 937512 , rad
Agora, para encontrar o número de voltas, dividimos o deslocamento angular pelo ângulo de uma volta completa ( 2pi radianos):
Número de voú

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade linear e a aceleração normal de um ponto localizado na metade do raio do disco no instante t = 5 segundos.
Primeiro, o raio total do disco é de 10 cm, então a metade do raio é r = 5 cm ou 0,05 metros.
A velocidade linear v de um ponto em um disco em rotação é dada por:
v = omega times r
Substituindo os valores:
v = 12503 times 0,05 = 1250 times 0,053 = 62,53 approx 20,83 , m/s
Agora, a aceleração normal (ou centrípeta) an é dada por:
an = v^2r
Substituindo os valores:
an = (20,83)^20,05 = 434,030,05 = 8680,6 , m/s^2

Resposta

No instante em que a aceleração angular é máxima ( t = 5 segundos):
  • O disco realizou aproximadamente 124,4 voltas.
  • A velocidade linear do ponto na metade do raio é de 20,83 metros por segundo.
  • A aceleração normal desse ponto é de 8680,6 metros por segundo ao quadrado.

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