Quatro partículas iguais, de massa
cada uma, são colocadas nos vértices de um quadrado de
e mantidas nessa posição por quatro barras, de massa desprezível, que formam os lados do quadrado. Determine o momento de inércia desse corpo rígido em relação a um eixo (a) que está no plano do quadrado e passa pelos pontos médios de dois lados opostos.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos quatro partículas iguais, cada uma com massa de
, colocando nos vértices de um quadrado que mede
. Essas partículas estão conectadas por barras que não têm massa. Queremos descobrir o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo que está no plano do quadrado e passa pelos pontos médios de dois lados opostos.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para partículas em posições específicas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. Ele é uma medida de quanta resistência um objeto oferece a mudanças em seu movimento de rotação. Basicamente, quanto mais afastadas as massas estiverem do eixo de rotação, maior será o momento de inércia.
A fórmula básica para o momento de inércia (
) de uma partícula é:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a distância da partícula ao eixo de rotação.
Passo 3
Agora, vamos identificar as posições das partículas em relação ao eixo de rotação. Como o eixo passa pelos pontos médios de dois lados opostos do quadrado, vamos desenhar isso para visualizar melhor.
Imagine um quadrado de lado
. O eixo está no meio de dois lados opostos. Portanto, cada vértice do quadrado está a uma distância de
do eixo. Isso porque a distância do centro ao meio de um lado é metade do lado do quadrado.
Passo 4
Agora que sabemos que cada partícula está a
do eixo, vamos calcular o momento de inércia de cada uma delas usando a fórmula que mencionamos:
Passo 5
Como temos quatro partículas iguais, todas a
do eixo, o momento de inércia total (
) será a soma dos momentos de inércia de cada partícula:
Resposta
O momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo especificado é de
.