Uma bola deve ser lançada do chão em direção a um aro distante de
, situado a
de altura. A bola deve ser lançada a
de inclinação com a horizontal. Determine os componentes tangencial e normal da aceleração da bola no instante em que ela atinge o aro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre o lançamento de uma bola que precisa alcançar um aro a uma distância de 4,5 metros e uma altura de 2,5 metros, sendo lançado com um ângulo de 60° em relação à horizontal. O nosso objetivo aqui é encontrar os componentes tangencial e normal da aceleração da bola no exato momento em que ela atinge o aro. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de movimento de projéteis e decomposição de vetores de aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a trajetória da bola. Quando lançamos um projétil, como essa bola, ele segue uma trajetória curva devido à ação da gravidade. A aceleração que atua sobre a bola é a aceleração da gravidade, que tem valor aproximado de $ g = 9,8 , m/s² $ para baixo.
Passo 3
Vamos precisar encontrar a velocidade da bola no momento em que ela atinge o aro. Para isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado. A velocidade horizontal ($ v_x
v_y $) muda devido à aceleração da gravidade.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o tempo que a bola leva para alcançar o aro. Sabemos que a distância horizontal é de 4,5 metros e que o ângulo de lançamento é de 60°. A velocidade inicial ($ v_0 $) pode ser decomposta em componentes horizontal e vertical:
Mas, como não temos o valor de $ v_0 $, vamos considerar que a bola atinge o aro no ponto específico, então podemos usar relações geométricas para encontrar as velocidades no ponto de impacto.
Passo 5
No ponto de impacto, a bola está a 2,5 metros de altura. Usando a equação da posição vertical:
Sabemos que $ y = 2,5 , m $, então podemos resolver essa equação para encontrar o tempo $ t $.
Passo 6
Depois de encontrar o tempo $ t $, podemos calcular a velocidade horizontal, que permanece constante:
E a velocidade vertical no instante de atingir o aro:
Passo 7
Agora que temos as componentes da velocidade no ponto de impacto, podemos encontrar a direção da velocidade. A aceleração da gravidade ($ \vec{g}
a_t
a_n $) da aceleração em relação ao movimento da bola no ponto de impacto, precisamos decompor $ \vec{g} $ nessas direções.
Passo 8
O componente tangencial da aceleração é dado pela projeção da aceleração da gravidade na direção do vetor velocidade:
E o componente normal da aceleração é dado pela magnitude do produto vetorial da aceleração da gravidade com a velocidade, dividido pela velocidade:
Passo 9
Vamos calcular o produto escalar e o produto vetorial para encontrar $ a_t $ e $ a_n $. Sabemos que $ \vec{g} = (0, -g) $ e $ \vec{v} = (v_x, v_y) $.
Passo 10
Substituindo na fórmula dos componentes:
Resposta
Os componentes tangencial e normal da aceleração da bola no instante em que ela atinge o aro são: