Quatro partículas iguais, de massa
cada uma, são colocadas nos vértices de um quadrado de
e mantidas nessa posição por quatro barras, de massa desprezível, que formam os lados do quadrado. Determine o momento de inércia desse corpo rígido em relação a um eixo © que está no plano do quadrado e passa por duas partículas diagonalmente opostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de momento de inércia juntos! A gente tem quatro partículas iguais, cada uma com massa de
, posicionadas nos vértices de um quadrado de lado
. Queremos encontrar o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo que passa por duas partículas que estão diagonalmente opostas no quadrado. Para isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e como calcular a distância de cada massa em relação ao eixo de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta “resistência” um objeto oferece à rotação em torno de um eixo. Matemática e simplesmente, para partículas pontuais, é calculado como:
onde
é a massa da partícula e
é a distância da partícula ao eixo de rotação.
Passo 3
No nosso caso, o eixo de rotação passa por duas partículas diagonalmente opostas do quadrado. Isso significa que essas duas partículas estão exatamente no eixo, então a distância delas ao eixo é zero. Logo, elas não contribuem para o momento de inércia. As outras duas partículas estão nos outros dois vértices do quadrado.
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância dessas duas partículas em relação ao eixo. Num quadrado, a distância de um vértice ao eixo diagonal é:
onde
é o lado do quadrado. Substituindo
:
Passo 5
Com as distâncias conhecidas, vamos calcular o momento de inércia de cada uma dessas duas partículas:
Já que temos duas partículas nessa posição, o momento de inércia total será:
Resposta
O momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo dado é
.