Quatro partículas iguais, de massa 0,50 kg cada uma, são colocadas nos vértices de um quadrado de 2,0 m times 2,0 m e mantidas nessa posição por quatro barras, de massa desprezível, que formam os lados do quadrado. Determine o momento de inércia desse corpo rígido em relação a um eixo © que está no plano do quadrado e passa por duas partículas diagonalmente opostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de momento de inércia juntos! A gente tem quatro partículas iguais, cada uma com massa de 0,50 , kg, posicionadas nos vértices de um quadrado de lado 2,0 , m. Queremos encontrar o momento de inércia desse sistema em relação a um eixo que passa por duas partículas que estão diagonalmente opostas no quadrado. Para isso, vamos precisar entender o conceito de momento de inércia e como calcular a distância de cada massa em relação ao eixo de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. É uma medida de quanta “resistência” um objeto oferece à rotação em torno de um eixo. Matemática e simplesmente, para partículas pontuais, é calculado como:
I = sum mi ri^2
onde mi é a massa da partícula e ri é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Passo 3

No nosso caso, o eixo de rotação passa por duas partículas diagonalmente opostas do quadrado. Isso significa que essas duas partículas estão exatamente no eixo, então a distância delas ao eixo é zero. Logo, elas não contribuem para o momento de inércia. As outras duas partículas estão nos outros dois vértices do quadrado.

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância dessas duas partículas em relação ao eixo. Num quadrado, a distância de um vértice ao eixo diagonal é:
d = araiz2
onde a é o lado do quadrado. Substituindo a = 2,0 , m:
d = 2,0raiz2 = raiz2 , m

Passo 5

Com as distâncias conhecidas, vamos calcular o momento de inércia de cada uma dessas duas partículas:
I1 = m cdot d^2 = 0,50 , kg cdot (raiz2 , m)^2 = 0,50 cdot 2 = 1,0 , kg·m^2
Já que temos duas partículas nessa posição, o momento de inércia total será:
Itotal = 2 cdot I1 = 2 cdot 1,0 = 2,0 , kg·m^2

Resposta

O momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo dado é 2,0 , kg·m^2.

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