Determine o momento de inércia dos seguintes objetos, todos homogêneos: (e) Esfera maciça de raio Re e massa M.

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir o momento de inércia de uma esfera maciça que é homogênea, ou seja, tem massa distribuída de forma igual em todo o seu volume. Pra isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para formas geométricas simples como a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece para começar a girar ou para mudar seu movimento de rotação. Ele depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. A fórmula geral para momento de inércia $ I $ é:
I
onde $ r $ é a distância de um elemento de massa $ dm $ ao eixo de rotação.

Passo 3

Como a esfera é homogênea e maciça, a massa está distribuída igualmente em todo o seu volume. Vamos considerar o eixo de rotação passando pelo centro da esfera. Para calcular o momento de inércia, precisamos integrar todos os pequenos elementos de massa multiplicados pelo quadrado da sua distância ao eixo.

Passo 4

Para facilitar a integração, usamos coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um pequeno elemento de volume $ dV $ é dado por:
dV
onde $ r $ é a distância ao centro, $ \theta $ é o ângulo polar e $ \phi $ é o ângulo azimutal.

Passo 5

A massa total $ M $ da esfera pode ser expressa em termos da densidade $ \rho $:
M
Com isso, a densidade $ \rho $ é:
rho

Passo 6

Agora, substituímos $ dm $ na fórmula do momento de inércia:
dm
Simplificando:
I = integral r^2 cdot rho cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi

Passo 7

Resolvendo as integrais separadamente:
integral0^R r^4 , dr = R^55
integral0^pi sintheta , dtheta = 2
integral0^2pi dphi = 2pi
Multiplicando tudo:
I = rho cdot R^55 cdot 2 cdot 2pi = 45 pi rho R^5

Passo 8

Substituindo $ \rho $ pela expressão em termos de $ M $:
rho

Resposta

O momento de inércia da esfera maciça homogênea em relação ao seu eixo central é:
I = 25 M R^2

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