Determine o momento de inércia dos seguintes objetos, todos homogêneos: (e) Esfera maciça de raio Re e massa M.
Passo 1
Então, a gente tem que descobrir o momento de inércia de uma esfera maciça que é homogênea, ou seja, tem massa distribuída de forma igual em todo o seu volume. Pra isso, vamos precisar entender o que é momento de inércia e como calcular para formas geométricas simples como a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento de inércia. É uma medida de quanta resistência um objeto oferece para começar a girar ou para mudar seu movimento de rotação. Ele depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. A fórmula geral para momento de inércia $ I $ é:
onde $ r $ é a distância de um elemento de massa $ dm $ ao eixo de rotação.
Passo 3
Como a esfera é homogênea e maciça, a massa está distribuída igualmente em todo o seu volume. Vamos considerar o eixo de rotação passando pelo centro da esfera. Para calcular o momento de inércia, precisamos integrar todos os pequenos elementos de massa multiplicados pelo quadrado da sua distância ao eixo.
Passo 4
Para facilitar a integração, usamos coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um pequeno elemento de volume $ dV $ é dado por:
onde $ r $ é a distância ao centro, $ \theta $ é o ângulo polar e $ \phi $ é o ângulo azimutal.
Passo 5
A massa total $ M $ da esfera pode ser expressa em termos da densidade $ \rho $:
Com isso, a densidade $ \rho $ é:
Passo 6
Agora, substituímos $ dm $ na fórmula do momento de inércia:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo as integrais separadamente:
Multiplicando tudo:
Passo 8
Substituindo $ \rho $ pela expressão em termos de $ M $:
Resposta
O momento de inércia da esfera maciça homogênea em relação ao seu eixo central é: