Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e um ângulo para cima de 45^{\circ}. No mesmo instante, um jogador a 45 m de distância na direção do chute, começa a correr para receber a bola. Qual deve ser a velocidade média do jogador para que alcance a bola imediatamente antes de tocar o gramado?

Passo 1

O enunciado diz que a bola é chutada do solo com velocidade inicial v_0 = 20, \mathrm{m/s} formando um ângulo \theta = 45^\circ acima da horizontal. Um jogador, que está a 45, \mathrm{m} do ponto de chute na direção em que a bola vai, precisa correr para encontrá-la imediatamente antes dela tocar o chão. Para isso vamos:
  1. Resolver o movimento do projétil (tempo de voo e alcance).
  2. Calcular quanto de distância o jogador terá de percorrer.
  3. Dividir essa distância pelo tempo de voo para achar sua velocidade média.

Passo 2

Decompomos v_0 em componentes horizontal e vertical:
v_{0x} = v_0\cos\theta = 20\cos(45^\circ) = 20\,\frac{\sqrt2}{2} = 10\sqrt2\;\mathrm{m/s},
v_{0y} = v_0\sin\theta = 20\sin(45^\circ) = 10\sqrt2\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

O tempo total de voo T (até a bola voltar ao mesmo nível do solo) vem de
T = \frac{2\,v_{0y}}{g}
com g = 9{,}8, \mathrm{m/s^2}. Logo,
T = \frac{2\cdot 10\sqrt2}{9{,}8} = \frac{20\sqrt2}{9{,}8} \approx 2{,}89\;\mathrm{s}.

Passo 4

O alcance horizontal R é
R = v_{0x}\,T = 10\sqrt2 \times \frac{20\sqrt2}{9{,}8} = \frac{10\cdot 20\cdot 2}{9{,}8} = \frac{400}{9{,}8} \approx 40{,}8\;\mathrm{m}.

Passo 5

O jogador está a 45, \mathrm{m}, mas a bola cai em 40{,}8, \mathrm{m}. Logo ele precisa correr para trás durante
d = 45 - R = 45 - 40{,}8 = 4{,}2\;\mathrm{m}
no mesmo tempo T. Assim sua velocidade média será
v_{\text{jog}} = \frac{d}{T} = \frac{4{,}2}{2{,}89} \approx 1{,}45\;\mathrm{m/s}.

Resposta

O jogador deve ter velocidade média de aproximadamente 1{,}45, \mathrm{m/s}.

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