Uma partícula se move de tal forma que a posição (em metros) em função do tempo (em segundos) é dada por \vec{r}=\hat{i}+\sin \left(4 t^{2}\right) \hat{j}+e^{-t} \hat{k}. Escreva as expressões para:
(a) Velocidade em função do tempo.
(b) Aceleração em função do tempo.

Passo 1

O enunciado nos dá a posição da partícula em função do tempo
\vec{r}(t) = \hat{i} + \sin\bigl(4t^{2}\bigr)\,\hat{j} + e^{-t}\,\hat{k}
e pede (a) a velocidade \vec{v}(t) e (b) a aceleração \vec{a}(t). Para isso, vamos usar a definição
\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}, \quad \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt},
aplicando a regra da cadeia e do produto quando necessário.

Passo 2

Calculando a velocidade, derivamos cada componente de \vec r(t):
– A componente x é constante, logo sua derivada é zero.
– Em y, temos \sin(4t^{2}). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\sin\bigl(4t^{2}\bigr) = \cos\bigl(4t^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dt}(4t^{2}) = \cos\bigl(4t^{2}\bigr)\cdot 8t.
– Em z, temos e^{-t}. Sabendo que \frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t},
\frac{d}{dt}e^{-t} = -\,e^{-t}.
Portanto,
\vec{v}(t) = 0\,\hat{i} + 8t\cos\bigl(4t^{2}\bigr)\,\hat{j} - e^{-t}\,\hat{k}.

Passo 3

Para a aceleração, derivamos cada componente de \vec v(t):
– A componente x continua 0.
– Em y, derivamos 8t\cos(4t^{2}) usando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\bigl(8t\cos(4t^{2})\bigr) = 8\cos(4t^{2}) + 8t\cdot\bigl[-\sin(4t^{2})\cdot 8t\bigr] = 8\cos(4t^{2}) - 64t^{2}\sin(4t^{2}).
– Em z, derivamos -e^{-t}, obtendo
\frac{d}{dt}\bigl(-e^{-t}\bigr) = +\,e^{-t}.
Logo,
\vec{a}(t) = 0\,\hat{i} + \bigl[8\cos(4t^{2}) - 64t^{2}\sin(4t^{2})\bigr]\,\hat{j} + e^{-t}\,\hat{k}.

Resposta

(a)
\vec{v}(t) = 0\,\hat{i} + 8t\cos\bigl(4t^{2}\bigr)\,\hat{j} - e^{-t}\,\hat{k}
(b)
\vec{a}(t) = 0\,\hat{i} + \bigl[8\cos(4t^{2}) - 64t^{2}\sin(4t^{2})\bigr]\,\hat{j} + e^{-t}\,\hat{k}

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