Questão 1. (Teste da Razão) Decida, usando exclusivamente o Teste da Razão, se as séries a seguir convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n^{2}}{5^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir, usando o Teste da Razão, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}n^{2}}{5^{n}}
converge ou diverge. O que precisamos é aplicar o critério que diz que, se
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
é menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \frac{2^{n}n^{2}}{5^{n}}.
Então o Teste da Razão nos leva a calcular
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.

Passo 3

Escrevemos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{2^{n+1}(n+1)^{2}}{5^{n+1}}} {\displaystyle\frac{2^{n}n^{2}}{5^{n}}} = \frac{2^{n+1}}{2^{n}}\;\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\;\frac{5^{n}}{5^{n+1}} = \frac{2}{5}\,\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr)^{2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2}{5}\,\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)^{2} = \frac{2}{5}\cdot 1 = \frac{2}{5}.
Como \tfrac{2}{5}<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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