Determine o valor de k de modo que
\int_{k}^{5} \frac{4}{2 x+1} d x=0.90397024748611
ATENÇÃO: Insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 . e portanto escreva
  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) “2*In(10) +3^{*} pi ^{*}(9-\exp (2))-3^{*} sqrt(5)” diretamente no Google por exemplo)
    \qquad
Insira aqui o valor de k \square

Passo 1

O enunciado pede para encontrar k tal que
\int_{k}^{5}\frac{4}{2x+1}\,dx \;=\;0.90397024748611.
O conteúdo é cálculo de integral definida de uma função racional simples; vamos precisar encontrar a primitiva de \frac{4}{2x+1} e depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Calculamos a primitiva de \frac{4}{2x+1}. Fazendo a substituição u=2x+1 (logo du=2\,dx), obtemos
\int \frac{4}{2x+1}\,dx =\int \frac{4}{u}\cdot\frac{du}{2} =2\int \frac{1}{u}\,du =2\ln\bigl|u\bigr|+C =2\ln\bigl|2x+1\bigr|+C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{k}^{5}\frac{4}{2x+1}\,dx =\Bigl[\,2\ln\bigl|2x+1\bigr|\,\Bigr]_{x=k}^{x=5} =2\ln(2\cdot5+1)-2\ln(2k+1).
Isso deve ser igual a 0.90397024748611.

Passo 4

Escrevendo a igualdade e isolando k:
2\ln(11)-2\ln(2k+1)=0.90397024748611 \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\biggl(\frac{11}{2k+1}\biggr) =\frac{0.90397024748611}{2} =0.451985123743055.
Aplicando exponencial,
\frac{11}{2k+1} =e^{0.451985123743055} =\frac{11}{7} \quad\Longrightarrow\quad 2k+1=7 \quad\Longrightarrow\quad k=3.

Resposta

3.0

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