Uma bola de futebol tem densidade de massa variável
. Determine o momento de inércia da bola e sua energia cinética ao ser chutada com uma velocidade angular
. Como a variação da densidade afeta a forma como a bola gira no ar?
Passo 1
O enunciado descreve uma bola esférica de raio
cuja densidade varia com o raio segundo
Precisamos calcular (1) o momento de inércia
em torno de um eixo que passa pelo centro e (2) a energia cinética rotacional
quando ela gira com velocidade angular
. Usaremos coordenadas esféricas e as fórmulas
Passo 2
Calcular a massa total
da bola a partir de
Passo 3
Isolar
em função de
:
Passo 4
Expressar o momento de inércia como
Passo 5
Substituir
em
:
Passo 6
Calcular a energia cinética rotacional:
Passo 7
Comentário sobre o efeito da densidade variável: como
, há mais massa concentrada perto da superfície, o que aumenta o momento de inércia em relação a uma esfera de densidade uniforme (
). Assim, para um mesmo
, a bola armazena mais energia rotacional e, para um mesmo impulso de giro, ela alcança menor
, tornando sua rotação mais “pesada” e estável no ar (maior rigidez giroscópica).
Resposta
A densidade crescente com