Uma bola de futebol tem densidade de massa variável \rho(r)=k r^{2}. Determine o momento de inércia da bola e sua energia cinética ao ser chutada com uma velocidade angular \omega. Como a variação da densidade afeta a forma como a bola gira no ar?

Passo 1

O enunciado descreve uma bola esférica de raio R cuja densidade varia com o raio segundo
\rho(r)=k\,r^{2}.
Precisamos calcular (1) o momento de inércia I em torno de um eixo que passa pelo centro e (2) a energia cinética rotacional K quando ela gira com velocidade angular \omega. Usaremos coordenadas esféricas e as fórmulas
\mathrm{d}m=\rho(r)\,\mathrm{d}V, \quad \mathrm{d}V=4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r, \quad I=\int r^{2}\,\mathrm{d}m, \quad K=\tfrac12I\omega^{2}.

Passo 2

Calcular a massa total M da bola a partir de
M=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r =4\pi k\int_{0}^{R}r^{4}\,\mathrm{d}r =4\pi k\,\frac{R^{5}}{5}.

Passo 3

Isolar k em função de M:
k = \frac{5M}{4\pi R^{5}}.

Passo 4

Expressar o momento de inércia como
I=\int_{0}^{R}r^{2}\,\mathrm{d}m =\int_{0}^{R}r^{2}\,\rho(r)\,4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r =4\pi k\int_{0}^{R}r^{6}\,\mathrm{d}r =4\pi k\,\frac{R^{7}}{7}.

Passo 5

Substituir k em I:
I =4\pi\frac{5M}{4\pi R^{5}}\frac{R^{7}}{7} =\frac{5}{7}M\,R^{2}.

Passo 6

Calcular a energia cinética rotacional:
K=\tfrac12I\omega^{2} =\frac12\Bigl(\frac{5}{7}M\,R^{2}\Bigr)\omega^{2} =\frac{5}{14}M\,R^{2}\,\omega^{2}.

Passo 7

Comentário sobre o efeito da densidade variável: como \rho(r)\propto r^{2}, há mais massa concentrada perto da superfície, o que aumenta o momento de inércia em relação a uma esfera de densidade uniforme ( I_{\rm uniforme}= \tfrac{2}{5}MR^{2}). Assim, para um mesmo \omega, a bola armazena mais energia rotacional e, para um mesmo impulso de giro, ela alcança menor \omega, tornando sua rotação mais “pesada” e estável no ar (maior rigidez giroscópica).

Resposta

I=\dfrac{5}{7}M\,R^{2}
K=\dfrac{5}{14}M\,R^{2}\,\omega^{2}
A densidade crescente com r desloca massa para a borda, elevando I e deixando o giro mais estável.

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