Determine as trações desenvolvidas nos cabos C A e C B necessárias para o equilíbrio do cilindro de 10 kg . Considere \theta=40^{\circ}.
*3.8. Se o cabo C B está submetido a uma tração que é o dobro da do cabo C A, determine o ângulo \theta para o equilíbrio do cilindro de 10 kg . Além disso, quais são as trações nos cabos C A e C B ?

Passo 1

O enunciado diz que um cilindro de massa 10,kg está pendurado no ponto C por dois cabos: o cabo CA é horizontal e o cabo CB faz um ângulo \theta acima da horizontal. Precisamos achar as trações T_{CA} e T_{CB} para que o sistema esteja em equilíbrio. O peso do cilindro é
mg = 10 \times 9{,}81 = 98{,}1\text{ N}.

Passo 2

Escrevendo o equilíbrio de forças no ponto C:
– Eixo horizontal (direita positiva): a tração T_{CA} aponta para a esquerda e o componente horizontal de T_{CB} aponta para a direita. O equilíbrio é
T_{CA} = T_{CB}\cos\theta.
– Eixo vertical (para cima positivo): só existe o componente vertical de T_{CB} equilibrando o peso, ou seja
T_{CB}\sin\theta = mg.

Passo 3

Da segunda equação isolamos
T_{CB} = \frac{mg}{\sin\theta},
e daí
T_{CA} = T_{CB}\cos\theta = \frac{mg}{\sin\theta}\cos\theta = mg\cot\theta.
Para \theta = 40^\circ:
\sin40^\circ \approx 0{,}643,\quad \cos40^\circ \approx 0{,}766,\quad \cot40^\circ\approx1{,}192,
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T_{CB} \approx \frac{98{,}1}{0{,}643} \approx 152{,}7\text{ N}, \quad T_{CA} \approx 98{,}1 \times 1{,}192 \approx 116{,}9\text{ N}.

Passo 4

Agora suponha que T_{CB} é o dobro de T_{CA}, ou seja
T_{CB} = 2\,T_{CA}.
Usando T_{CA} = T_{CB}\cos\theta resulta
T_{CB} = 2\,(T_{CB}\cos\theta) \quad\Longrightarrow\quad 1 = 2\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \theta = 60^\circ.
Substituindo em T_{CB} = \dfrac{mg}{\sin\theta}:
T_{CB} = \frac{98{,}1}{\sin60^\circ} = \frac{98{,}1}{0{,}866} \approx 113{,}3\text{ N},
e então
T_{CA} = \frac{T_{CB}}{2} \approx 56{,}65\text{ N}.

Resposta

(a) Para \theta=40^\circ:
T_{CA}\approx116{,}9\text{ N},
T_{CB}\approx152{,}7\text{ N}.
(b) Se T_{CB}=2T_{CA}:
\theta=60^\circ,
T_{CA}\approx56{,}65\text{ N},
T_{CB}\approx113{,}3\text{ N}.

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