Um disco de massa 2 kg e raio 0,3 \mathrm{~m} parte do repouso e atinge uma velocidade angular de 6 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \mathrm{em} 3 \mathrm{~s} sob ação de um torque constante. Determine:
a. A aceleração angular do disco.
b. O momento de inércia do disco.
c. Como a distribuição de massa influencia o momento de inércia?

Passo 1

O enunciado descreve um disco de massa M=2\:\mathrm{kg} e raio R=0,3\:\mathrm{m} que parte do repouso e atinge \omega=6\:\mathrm{rad/s} em t=3\:\mathrm{s} sob torque constante. Vamos usar cinemática rotacional para achar a aceleração angular e a fórmula do momento de inércia de um disco maciço para I. Também discutiremos como a distribuição de massa afeta I.

Passo 2

Para aceleração angular constante vale
\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{\omega_f - \omega_0}{t} = \frac{6 - 0}{3} = 2\:\mathrm{rad/s}^2.

Passo 3

O momento de inércia de um disco maciço em relação ao eixo central é
I = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot (0,3)^2 = 0,09\:\mathrm{kg\cdot m^2}.

Passo 4

O momento de inércia geral é dado por I=\int r^2\,dm, de modo que cada pedaço de massa contribui com r^2 vezes sua massa. Isso significa que massar mais longe do eixo aumenta I quadraticamente, enquanto concentrar massa perto do eixo reduz I.

Resposta

a. \alpha = 2\:\mathrm{rad/s}^2
b. I = 0,09\:\mathrm{kg\cdot m^2}
c. O momento de inércia cresce quando mais massa está afastada do eixo (contribuição \propto r^2); quanto mais concentrada a massa junto ao eixo, menor I.

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