Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h(t)=-5 t^2+15 t. Determine:
A altura máxima atingida pela bola.

Passo 1

Vamos resolver um problema de física onde precisamos encontrar a altura máxima que uma bola atinge quando é lançada para o alto. A equação que descreve a altura da bola em função do tempo é dada por h(t) = -5t^2 + 15t . Para resolver isso, vamos usar conceitos de matemática, especificamente o estudo de funções quadráticas, para determinar o ponto mais alto que a bola alcança.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da equação de altura h(t) = -5t^2 + 15t . Essa é uma função quadrática, que tem a forma geral h(t) = at^2 + bt + c , onde a , b e c são coeficientes. No nosso caso, a = -5 , b = 15 e c = 0 .

Passo 3

Sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Como o coeficiente de t^2 (que é a ) é negativo (-5), a parábola abre para baixo. Isso significa que a função tem um ponto máximo, que corresponde à altura máxima que a bola alcança.

Passo 4

Para encontrar a altura máxima, precisamos determinar o valor de t no qual essa altura ocorre. A fórmula para encontrar o tempo t no qual a função quadrática atinge seu ponto máximo é:
t = -b2a
Substituindo os valores de a e b :
t = -152 times -5 = -15-10 = 1,5 segundos

Passo 5

Agora que sabemos que a altura máxima ocorre em t = 1,5 segundos, vamos substituir esse valor na equação original para encontrar a altura:
h(1,5) = -5 (1,5)^2 + 15 times 1,5
Calculando:
h(1,5) = -5 times 2,25 + 22,5 = -11,25 + 22,5 = 11,25 metros

Resposta

A altura máxima atingida pela bola é de 11,25 metros.

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