Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais:
Q=rho sin phi arho+rho^2 z aphi+z cos phi az

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a divergência do campo vetorial Q = rho sin phi arho + rho^2 z aphi + z cos phi az. Para isso, vamos usar a fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas. A matéria envolvida é cálculo vetorial, especificamente divergência em sistemas de coordenadas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da divergência em coordenadas cilíndricas (rho, phi, z). A divergência de um campo Q = Qrho arho + Qphi aphi + Qz az é dada por:
nabla cdot Q = 1rho partial (rho Qrho)partial rho + 1rho partial Qphipartial phi + partial Qzpartial z

Passo 3

Agora, vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial Q:
  • Qrho = rho sin phi
  • Qphi = rho^2 z
  • Qz = z cos phi

Passo 4

Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias na fórmula:
  1. partial (rho Qrho)partial rho
rho Qrho = rho cdot rho sin phi = rho^2 sin phi partial (rho^2 sin phi)partial rho = 2rho sin phi
  1. partial Qphipartial phi
Qphi = rho^2 z partial (rho^2 z)partial phi = 0 (porque não depende de phi) ã
  1. partial Qzpartial z
Qz = z cos phi partial (z cos phi)partial z = cos phi

Passo 5

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula da divergência:
nabla cdot Q = 1rho (2rho sin phi) + 1rho (0) + cos phi

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
1rho (2rho sin phi) = 2 sin phi 1rho (0) = 0 cos phi permanece
Então,
nabla cdot Q = 2 sin phi + cos phi

Resposta

A divergência do campo vetorial Q é 2 sin phi + cos phi.

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